Jag publicerar här några gamla anteckningar om tentan 2016-10-27, som kan vara bra att ha kvar.
Överlag har det varit väldigt många fel på enkel aritmetik. Det har blivit fel på $25+16$, $-8+5$, $1 - (-1)$ och så vidare. Det blir också onödigt många avskrivningsfel inne i uträkningar, ibland på grund av slarvig handskrift. Man slinter lite med pennan på en rad, och på nästa rad har en parentes förvandlats till ett minustecken eller något liknande. Ibland har jag haft svårt att se vad som har hänt.
Det här är ju saker som alla egentligen kan, så varför blir det fel? Jag tänker mig att det kan bero på att arbetsminnet blir överbelastat av de olika stegen i en uppgift. Men även många som tycks ha väldigt klart för sig i vilken ordning olika steg ska göras, gör dessa enkla fel. Ett par tentander har visat att de egentligen klarar att lösa alla uppgifterna, men ändå bara fått rätt svar på runt hälften.
Man ska inte vara rädd för att göra fel, och vem som helst kan få s. k. "hjärnsläpp" enstaka gånger. Men sett över hela tentahögen var det ändå lite för mycket. Och ska man bli lärare bör man ju klara att stå vid tavlan (eller annat medium) och prata med eleverna och samtidigt få rätt på plus och minus (och skriva läsligt!).
Trots att jag tycker att jag till slut hade tjatat om det ganska mycket, är det många som inte tar de chanser som finns att upptäcka fel genom att kontrollera. Man hävdar att vissa värden på variabler löser en viss ekvation, men sätter inte in värdena och verifierar. Här skulle vi behöva komma upp ett par snäpp i Blooms taxonomi och få lite kritisk analys av de egna resultaten.
Det är väldigt vanligt att man inte förkortar bråk. Jag har viss förståelse för att man svarar $279/234$ i stället för $31/26$, men det ser väldigt konstigt ut när det dyker upp $3/9$ någonstans i räkningarna och man bara räknar vidare med dessa tre niondelar utan att förkorta till $1/3$. Ännu konstigare blir det när det står till exempel $6/3$ i svaret till en uppgift.
Dessa oförkortade bråk, inklusive ej bortförkortade minustecken som till exempel \[-\frac{1}{-2}\] tycks också bidra till frekvensen av ovannämnda aritmetiska misstag.
Även andra former av ej färdigräknade svar förekommer, till exempel \[-\left(1-\frac{1-\sqrt{5}}2\right).\]
Det här uttrycket är tillräckligt bra för att man ska få fram rätt decimaler om man knappar in det på en miniräknare (inte för att man skulle göra det på tentan - miniräknare var ju inte tillåten), men ändå inte färdigräknat. Inte för att fokusera på poängsättning, men det finns ingen princip som säger att ett svar måste ge full poäng bara för att det är med sanningen överensstämmande.
Det finns ett antal satser i linjäralgebran som man egentligen inte behöver kunna, i den meningen att man inte ska lägga energi på att "plugga in" dem. Ett exempel är det faktum att produkten av två symmetriska matriser är symmetrisk. Detta behöver man i princip inte ha tänkt på. Dock borde man helst ha tillräcklig rutin och förståelse för att bli lite förvånad om det visar sig inte vara så. Och gå tillbaka och kontrollera. Lite mer överkurs är det väl att ett heltalspolynom med ledande koefficient $\pm 1$ inte kan ha en rationell rot som inte är heltal, men just rationella rötter är ju enkla att kontrollera.
Nåväl, över till det som är bra: Det är ändå så att de flesta har visat att de (egentligen) vet hur man beräknar avstånd, vinklar, projektioner och speglingar, hur man löser ekvationssystem, använder minsta-kvadratmetoden, beräknar determinanter, och räknar ut egenvärden.
En sak som är positivt (och här tycker jag mig kunna se en skillnad i "kultur" gentemot vissa ingenjörsutbildningar) är att de flesta har förklarat i ord (och figurer) vad de gör och vad uträkningar betyder. Det är ju bra om man ska bli lärare. Det är annars väldigt lätt att lösningar blir svårlästa. Kan det vara för att man utbildar sig till just lärare och att detta därför finns i kulturen? Eller för att många arbetar tillsammans i grupper och är vana att förklara för varandra?
Kommentarer till uppgifterna:
1. Båda vektorerna har längd $\sqrt{41}$. Cosinus för vinkeln ges av \[\frac{u\cdot v}{\left\Vert u \right\Vert \cdot \left\Vert v\right\Vert} = \frac{-3}{41}.\]
Eftersom detta är mellan $-1/2$ och 0, är vinkeln mellan $90^\circ$ och $120^\circ$.
Flera tentander har haft problem med att avgöra i vilket intervall vinkeln ligger trots att de har varit på det klara med att cosinus är $-3/41$. Kanske har man ingen bra visualisering av cosinusfunktionen, vare sig genom enhetscirkeln eller grafen för cosinus? Inom intervallet 0 till $180^\circ$ (a.k.a $\pi$) är cosinus som bekant avtagande, dvs ju större vinkel desto mindre cosinus.
Jag påmindes också om att ordet "uppskatta" har en mer precis innebörd i matematiskt språk än i vardagligt tal. Att "uppskatta" något betyder i matematiken att ge precisa övre och undre gränser. Det verkar ha tolkats som "beräkna ett närmevärde". Det har inte lett till några problem med rättningen, eftersom de som har angett ett rimligt närmevärde också har placerat vinkeln i rätt intervall.
Nästan alla visste att ett exempel på en vektor som är ortogonal mot både $u$ och $v$ är deras kryssprodukt, \[\begin{pmatrix} -30 \\ -14\\ 24\end{pmatrix}.\] En annan sådan vektor är den hälften så långa vektorn \[\begin{pmatrix} -15 \\ -7\\ 12\end{pmatrix}.\]
2. Normalriktningen till planet är $\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}$, och linjen genom punkten $\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ med denna riktning är på parameterform $\begin{pmatrix}1+t\\ 1-t\\ 1+3t\end{pmatrix}$. Denna linjen korsar det givna planet för $t=-3/11$, vilket ger punkten $\begin{pmatrix}8/11\\ 14/11\\ 2/11\end{pmatrix}$. Avståndet därifrån till $\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ är \[\frac{3}{\sqrt{11}}.\]
Även svaret \[\frac{3\sqrt{11}}{11}\] och ett par andra varianter är helt ok, då man ju i vissa fall föredrar att ha rottecknen i täljaren. Om man däremot har svarat något mycket mer komplicerat, har jag dragit en poäng även om det har varit rätt.
Tydligen har någon på Skolöverstyrelsen eller vad det heter hittat på att man i skolan ska svara i så kallade "l. e.", vilket lär betyda "längdenheter". Ska jag vara ärlig måste jag säga att jag tycker det är ganska fånigt. Tanken är väl att ett tal inte kan vara ett avstånd, och i resonemanget bakom ligger nog också detta med att analysera enheter i till exempel fysik. Naturen vet inte vilka enheter vi använder, så om ett svar på en fysikuppgift beror på vilken enhet vi mäter i, måste någonting ha blivit fel. I matematiken (som internationell och månghundraårig tradition och kultur) använder vi oss dock inte av detta med l.e. I $\mathbb{R}^2$ är avståndet från origo till $(1,2)$ lika med talet $\sqrt{5}$. Att modellen inte är lika med den fysiska verkligheten är en annan sak.
3. Reflektion i $xy$-planet betyder att $z$-koordinaten byter tecken, och matrisen för detta är \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.\]
Reflektion i planet $x=y$ å andra sidan betyder att $x$- och $y$-koordinaterna byter plats, vilket ges av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]
Sammansättningen av de här avbildningarna ges av
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.\]
Det råkar vara så att de här två matriserna kommuterar, dvs produkten blir densamma oavsett i vilken ordning man multiplicerar ihop dem.
Några har fått fel matriser för de respektive reflektionerna. Av dessa är det förvånansvärt många som påstår att de två reflektionerna ges av samma matris, synbarligen utan att reflektera (pun intended) över att de har skrivit upp samma matris två gånger. Om denna matris verkligen är en reflektion, får man då enhetsmatrisen när man multiplicerar den med sig själv. Även detta borde ju stämma till reflektion (vad får jag allt ifrån?).
4. Lösningen får en fri parameter, och kan till exempel skrivas
\[ \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3+3t\\ -1/2-t/2\\ 2-2t\\ t\end{pmatrix}.\]
5. Systemet kan skrivas \[\begin{pmatrix} 1 & 1\\2 & -1\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4\end{pmatrix}.\]
Förlängning med transponatet ger \[\begin{pmatrix} 9 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\ 5 \end{pmatrix}.\] Vi får $x = 31/26$ och $y = 33/26$.
Några har räknat fel på det avslutande ekvationssystemet och fått ganska orimliga svar. En sak man kan göra för att kontrollera sitt svar är att sätta in det i de ursprungliga ekvationerna. Även om de inte stämmer exakt, bör man få ett resultat där alla tre felen är ganska små. De tre ekvationerna beskriver tre linjer i planet (som man enkelt kan rita upp), och den punkt som är bäst på den omöjliga uppgiften att ligga på alla tre linjerna bör ju vara en punkt inuti den triangel som bildas av de tre linjerna. Får man en punkt som ligger långt utanför, är det något som inte stämmer.
Notera att det blir fel om man börjar "Gaussa" innan man beräknar minsta-kvadratlösningen. Radoperationerna bevarar alla exakta lösningar, men förändrar minsta-kvadratavstånden!
6. Determinanten är $-2$. Den här uppgiften har överlag gått bra!
7. Genom att multiplicera matrisen med den givna vektorn ser man att egenvärdet är 2. Den karakteristiska ekvationen är $\lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda + 2 = 0$. Eftersom vi vet att $\lambda=2$ är en rot, kan vi dividera bort faktorn $\lambda - 2$ (faktorsatsen). Då återstår ekvationen $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$, vars lösningar är \[ \lambda = \frac{1\pm \sqrt{5}}2.\]
De respektive egenvektorerna är \[\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1 + \sqrt{5}}2\\ 0\end{pmatrix}\] och \[\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1 - \sqrt{5}}2\\ 0\end{pmatrix}\]
Det här kunde man kanske delvis ha känt igen från Geogebralabben och hemdugga 4.
Många har haft problem på den här uppgiften, bland annat för att man inte kände till faktorsatsen, dvs inte visste hur man reducerar en tredjegradsekvation till en andragradsekvation om man känner till en rot. Det har också generellt varit svårt att hantera polynom och polynomdivision utan att göra räknefel. Om egenvärdena blir fel, kan man ju tyvärr inte få fram några egenvektorer. Å andra sidan ger ju detta en indikation på att något inte stämmer, och att man borde kontrollera tidigare räkningar.
Flera tentander har dragit igång maskineriet för att räkna ut egenvärden utan att överhuvudtaget utnyttja att en egenvektor var given i uppgiften. Det blir då en del springande över ån efter vatten.
8. Den här matrisen beskriver en rotation runt axeln $x=y=z$, och eftersom matrisen upphöjt till 3 är enhetsmatrisen, måste rotationen vara $120^\circ$. I princip var det lite överkurs vilket det ju får vara på sista uppgiften, men just det här har vi pratat om ett par gånger, så den har gått ganska bra.
Några få tentander har noterat att matrisen upphöjt till 4 är lika med matrisen själv, och tänkt att man då är tillbaka till utgångspunkten efter 4 steg, men vad det innebär är ju att 4 steg är detsamma som 1 steg.