Jag publicerar här några gamla anteckningar om tentan 2016-10-27, som kan vara bra att ha kvar.
Överlag har det varit väldigt många fel på enkel aritmetik. Det har blivit fel på $25+16$, $-8+5$, $1 - (-1)$ och så vidare. Det blir också onödigt många avskrivningsfel inne i uträkningar, ibland på grund av slarvig handskrift. Man slinter lite med pennan på en rad, och på nästa rad har en parentes förvandlats till ett minustecken eller något liknande. Ibland har jag haft svårt att se vad som har hänt.
Det här är ju saker som alla egentligen kan, så varför blir det fel? Jag tänker mig att det kan bero på att arbetsminnet blir överbelastat av de olika stegen i en uppgift. Men även många som tycks ha väldigt klart för sig i vilken ordning olika steg ska göras, gör dessa enkla fel. Ett par tentander har visat att de egentligen klarar att lösa alla uppgifterna, men ändå bara fått rätt svar på runt hälften.
Man ska inte vara rädd för att göra fel, och vem som helst kan få s. k. "hjärnsläpp" enstaka gånger. Men sett över hela tentahögen var det ändå lite för mycket. Och ska man bli lärare bör man ju klara att stå vid tavlan (eller annat medium) och prata med eleverna och samtidigt få rätt på plus och minus (och skriva läsligt!).
Trots att jag tycker att jag till slut hade tjatat om det ganska mycket, är det många som inte tar de chanser som finns att upptäcka fel genom att kontrollera. Man hävdar att vissa värden på variabler löser en viss ekvation, men sätter inte in värdena och verifierar. Här skulle vi behöva komma upp ett par snäpp i Blooms taxonomi och få lite kritisk analys av de egna resultaten.
Det är väldigt vanligt att man inte förkortar bråk. Jag har viss förståelse för att man svarar $279/234$ i stället för $31/26$, men det ser väldigt konstigt ut när det dyker upp $3/9$ någonstans i räkningarna och man bara räknar vidare med dessa tre niondelar utan att förkorta till $1/3$. Ännu konstigare blir det när det står till exempel $6/3$ i svaret till en uppgift.
Dessa oförkortade bråk, inklusive ej bortförkortade minustecken som till exempel \[-\frac{1}{-2}\] tycks också bidra till frekvensen av ovannämnda aritmetiska misstag.
Även andra former av ej färdigräknade svar förekommer, till exempel \[-\left(1-\frac{1-\sqrt{5}}2\right).\]
Det här uttrycket är tillräckligt bra för att man ska få fram rätt decimaler om man knappar in det på en miniräknare (inte för att man skulle göra det på tentan - miniräknare var ju inte tillåten), men ändå inte färdigräknat. Inte för att fokusera på poängsättning, men det finns ingen princip som säger att ett svar måste ge full poäng bara för att det är med sanningen överensstämmande.
Det finns ett antal satser i linjäralgebran som man egentligen inte behöver kunna, i den meningen att man inte ska lägga energi på att "plugga in" dem. Ett exempel är det faktum att produkten av två symmetriska matriser är symmetrisk. Detta behöver man i princip inte ha tänkt på. Dock borde man helst ha tillräcklig rutin och förståelse för att bli lite förvånad om det visar sig inte vara så. Och gå tillbaka och kontrollera. Lite mer överkurs är det väl att ett heltalspolynom med ledande koefficient $\pm 1$ inte kan ha en rationell rot som inte är heltal, men just rationella rötter är ju enkla att kontrollera.
Nåväl, över till det som är bra: Det är ändå så att de flesta har visat att de (egentligen) vet hur man beräknar avstånd, vinklar, projektioner och speglingar, hur man löser ekvationssystem, använder minsta-kvadratmetoden, beräknar determinanter, och räknar ut egenvärden.
En sak som är positivt (och här tycker jag mig kunna se en skillnad i "kultur" gentemot vissa ingenjörsutbildningar) är att de flesta har förklarat i ord (och figurer) vad de gör och vad uträkningar betyder. Det är ju bra om man ska bli lärare. Det är annars väldigt lätt att lösningar blir svårlästa. Kan det vara för att man utbildar sig till just lärare och att detta därför finns i kulturen? Eller för att många arbetar tillsammans i grupper och är vana att förklara för varandra?
Kommentarer till uppgifterna:
1. Båda vektorerna har längd $\sqrt{41}$. Cosinus för vinkeln ges av \[\frac{u\cdot v}{\left\Vert u \right\Vert \cdot \left\Vert v\right\Vert} = \frac{-3}{41}.\]
Eftersom detta är mellan $-1/2$ och 0, är vinkeln mellan $90^\circ$ och $120^\circ$.
Flera tentander har haft problem med att avgöra i vilket intervall vinkeln ligger trots att de har varit på det klara med att cosinus är $-3/41$. Kanske har man ingen bra visualisering av cosinusfunktionen, vare sig genom enhetscirkeln eller grafen för cosinus? Inom intervallet 0 till $180^\circ$ (a.k.a $\pi$) är cosinus som bekant avtagande, dvs ju större vinkel desto mindre cosinus.
Jag påmindes också om att ordet "uppskatta" har en mer precis innebörd i matematiskt språk än i vardagligt tal. Att "uppskatta" något betyder i matematiken att ge precisa övre och undre gränser. Det verkar ha tolkats som "beräkna ett närmevärde". Det har inte lett till några problem med rättningen, eftersom de som har angett ett rimligt närmevärde också har placerat vinkeln i rätt intervall.
Nästan alla visste att ett exempel på en vektor som är ortogonal mot både $u$ och $v$ är deras kryssprodukt, \[\begin{pmatrix} -30 \\ -14\\ 24\end{pmatrix}.\] En annan sådan vektor är den hälften så långa vektorn \[\begin{pmatrix} -15 \\ -7\\ 12\end{pmatrix}.\]
2. Normalriktningen till planet är $\begin{pmatrix}1\\ -1\\ 3\end{pmatrix}$, och linjen genom punkten $\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ med denna riktning är på parameterform $\begin{pmatrix}1+t\\ 1-t\\ 1+3t\end{pmatrix}$. Denna linjen korsar det givna planet för $t=-3/11$, vilket ger punkten $\begin{pmatrix}8/11\\ 14/11\\ 2/11\end{pmatrix}$. Avståndet därifrån till $\begin{pmatrix}1\\ 1\\ 1\end{pmatrix}$ är \[\frac{3}{\sqrt{11}}.\]
Även svaret \[\frac{3\sqrt{11}}{11}\] och ett par andra varianter är helt ok, då man ju i vissa fall föredrar att ha rottecknen i täljaren. Om man däremot har svarat något mycket mer komplicerat, har jag dragit en poäng även om det har varit rätt.
Tydligen har någon på Skolöverstyrelsen eller vad det heter hittat på att man i skolan ska svara i så kallade "l. e.", vilket lär betyda "längdenheter". Ska jag vara ärlig måste jag säga att jag tycker det är ganska fånigt. Tanken är väl att ett tal inte kan vara ett avstånd, och i resonemanget bakom ligger nog också detta med att analysera enheter i till exempel fysik. Naturen vet inte vilka enheter vi använder, så om ett svar på en fysikuppgift beror på vilken enhet vi mäter i, måste någonting ha blivit fel. I matematiken (som internationell och månghundraårig tradition och kultur) använder vi oss dock inte av detta med l.e. I $\mathbb{R}^2$ är avståndet från origo till $(1,2)$ lika med talet $\sqrt{5}$. Att modellen inte är lika med den fysiska verkligheten är en annan sak.
3. Reflektion i $xy$-planet betyder att $z$-koordinaten byter tecken, och matrisen för detta är \[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.\]
Reflektion i planet $x=y$ å andra sidan betyder att $x$- och $y$-koordinaterna byter plats, vilket ges av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{pmatrix}.\]
Sammansättningen av de här avbildningarna ges av
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\end{pmatrix}.\]
Det råkar vara så att de här två matriserna kommuterar, dvs produkten blir densamma oavsett i vilken ordning man multiplicerar ihop dem.
Några har fått fel matriser för de respektive reflektionerna. Av dessa är det förvånansvärt många som påstår att de två reflektionerna ges av samma matris, synbarligen utan att reflektera (pun intended) över att de har skrivit upp samma matris två gånger. Om denna matris verkligen är en reflektion, får man då enhetsmatrisen när man multiplicerar den med sig själv. Även detta borde ju stämma till reflektion (vad får jag allt ifrån?).
4. Lösningen får en fri parameter, och kan till exempel skrivas
\[ \begin{pmatrix} a\\ b\\ c\\ d\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3+3t\\ -1/2-t/2\\ 2-2t\\ t\end{pmatrix}.\]
5. Systemet kan skrivas \[\begin{pmatrix} 1 & 1\\2 & -1\\ 2 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ 4\end{pmatrix}.\]
Förlängning med transponatet ger \[\begin{pmatrix} 9 & 1\\ 1 & 3\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12\\ 5 \end{pmatrix}.\] Vi får $x = 31/26$ och $y = 33/26$.
Några har räknat fel på det avslutande ekvationssystemet och fått ganska orimliga svar. En sak man kan göra för att kontrollera sitt svar är att sätta in det i de ursprungliga ekvationerna. Även om de inte stämmer exakt, bör man få ett resultat där alla tre felen är ganska små. De tre ekvationerna beskriver tre linjer i planet (som man enkelt kan rita upp), och den punkt som är bäst på den omöjliga uppgiften att ligga på alla tre linjerna bör ju vara en punkt inuti den triangel som bildas av de tre linjerna. Får man en punkt som ligger långt utanför, är det något som inte stämmer.
Notera att det blir fel om man börjar "Gaussa" innan man beräknar minsta-kvadratlösningen. Radoperationerna bevarar alla exakta lösningar, men förändrar minsta-kvadratavstånden!
6. Determinanten är $-2$. Den här uppgiften har överlag gått bra!
7. Genom att multiplicera matrisen med den givna vektorn ser man att egenvärdet är 2. Den karakteristiska ekvationen är $\lambda^3 - 3\lambda^2 + \lambda + 2 = 0$. Eftersom vi vet att $\lambda=2$ är en rot, kan vi dividera bort faktorn $\lambda - 2$ (faktorsatsen). Då återstår ekvationen $\lambda^2 - \lambda - 1 = 0$, vars lösningar är \[ \lambda = \frac{1\pm \sqrt{5}}2.\]
De respektive egenvektorerna är \[\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1 + \sqrt{5}}2\\ 0\end{pmatrix}\] och \[\begin{pmatrix} 1 \\ \frac{1 - \sqrt{5}}2\\ 0\end{pmatrix}\]
Det här kunde man kanske delvis ha känt igen från Geogebralabben och hemdugga 4.
Många har haft problem på den här uppgiften, bland annat för att man inte kände till faktorsatsen, dvs inte visste hur man reducerar en tredjegradsekvation till en andragradsekvation om man känner till en rot. Det har också generellt varit svårt att hantera polynom och polynomdivision utan att göra räknefel. Om egenvärdena blir fel, kan man ju tyvärr inte få fram några egenvektorer. Å andra sidan ger ju detta en indikation på att något inte stämmer, och att man borde kontrollera tidigare räkningar.
Flera tentander har dragit igång maskineriet för att räkna ut egenvärden utan att överhuvudtaget utnyttja att en egenvektor var given i uppgiften. Det blir då en del springande över ån efter vatten.
8. Den här matrisen beskriver en rotation runt axeln $x=y=z$, och eftersom matrisen upphöjt till 3 är enhetsmatrisen, måste rotationen vara $120^\circ$. I princip var det lite överkurs vilket det ju får vara på sista uppgiften, men just det här har vi pratat om ett par gånger, så den har gått ganska bra.
Några få tentander har noterat att matrisen upphöjt till 4 är lika med matrisen själv, och tänkt att man då är tillbaka till utgångspunkten efter 4 steg, men vad det innebär är ju att 4 steg är detsamma som 1 steg.
Wednesday, February 8, 2017
Monday, October 17, 2016
Gamla tentor mm
Man kan hitta några gamla tentor här.
Det finns som synes svar på tentan från 14-10-30. Svar och kommentarer till tentan 15-01-05 finns här, och till tentan 15-08-24 här.
Det finns även kommentarer till tentan 15-10-29, men den ligger inte på gamla kurshemsidan, så jag kopierar in den nedan (borde väl egentligen skapa lite ordning och reda i stället för att ha saker på olika ställen med länkar hit och dit).
Det finns också ett "snabbtest" i en post här från 2014.
Tenta 2015-10-29:
1. Låt $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7\end{pmatrix}$ och
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$.
(a) Vilken av vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är längst?
(b) Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
(c) Finn en nollskild vektor som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
2. Bestäm kortaste avståndet från origo till det plan som ges av ekvationen $x+2y+2z= 1$.
3. Ange matrisen för den avbildning $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ som ges av rotation $45^\circ$ runt origo i positiv riktning följt av spegling i linjen $x+y = 0$.
4. (a) Beräkna inversen till matrisen
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{pmatrix}.\]
(b) Lös ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 1\\
a+2b+3c = 0\\
a+3b+6c = 0
\end{cases}
\]
5. Finn bästa lösningen i minsta kvadrat-mening till det överbestämda ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
x + y = 2\\
2x - y = 1\\
3x + 2y = 4
\end{cases}
\]
6. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]
(a) Bestäm alla egenvärden till $A$, samt tillhörande egenvektorer.
(b) Beräkna $A^{10}$.
7. Matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] beskriver en rotation i $\mathbb{R}^3$. Bestäm rotationsaxeln och vinkeln.
8. Ge ett exempel på en ON-bas i $\mathbb{R}^3$ som innehåller vektorn \[\frac1{\sqrt{3}}\cdot\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\]
Det finns som synes svar på tentan från 14-10-30. Svar och kommentarer till tentan 15-01-05 finns här, och till tentan 15-08-24 här.
Det finns även kommentarer till tentan 15-10-29, men den ligger inte på gamla kurshemsidan, så jag kopierar in den nedan (borde väl egentligen skapa lite ordning och reda i stället för att ha saker på olika ställen med länkar hit och dit).
Det finns också ett "snabbtest" i en post här från 2014.
Tenta 2015-10-29:
1. Låt $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7\end{pmatrix}$ och
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$.
(a) Vilken av vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är längst?
(b) Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
(c) Finn en nollskild vektor som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
2. Bestäm kortaste avståndet från origo till det plan som ges av ekvationen $x+2y+2z= 1$.
3. Ange matrisen för den avbildning $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ som ges av rotation $45^\circ$ runt origo i positiv riktning följt av spegling i linjen $x+y = 0$.
4. (a) Beräkna inversen till matrisen
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{pmatrix}.\]
(b) Lös ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 1\\
a+2b+3c = 0\\
a+3b+6c = 0
\end{cases}
\]
5. Finn bästa lösningen i minsta kvadrat-mening till det överbestämda ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
x + y = 2\\
2x - y = 1\\
3x + 2y = 4
\end{cases}
\]
6. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]
(a) Bestäm alla egenvärden till $A$, samt tillhörande egenvektorer.
(b) Beräkna $A^{10}$.
7. Matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] beskriver en rotation i $\mathbb{R}^3$. Bestäm rotationsaxeln och vinkeln.
8. Ge ett exempel på en ON-bas i $\mathbb{R}^3$ som innehåller vektorn \[\frac1{\sqrt{3}}\cdot\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\]
Sunday, October 9, 2016
Dugga 4
Här kommer äntligen Hemdugga 4!
Uppgift 2 har ni redan gjort en uppvärmning för, ifall ni har gjort laboration 2. Men jag har formulerat den utan att förutsätta att ni har gjort labben.
Notera också på uppgift 2(d) att det är tillåtet att hänvisa till spektralsatsen!
Om man tittar på telefonen får man förmodligen lite problem med MathJax, som är en plug-in eller vad det heter, och som gör att jag kan skriva matematiska uttryck här på bloggen. Då ser man bara källkoden, och då är det raderna i matriserna som skrivs ut med "\\" för ny rad, och "&" för att skilja elementen i samma rad. Men ni får den på papper på tisdag.
Den ska som sagt lämnas in senast vid början av föreläsningen tisdagen den 18 oktober.
1. Komplettera matrisen
\[\begin{pmatrix}
1/\sqrt{14} & 2/\sqrt{5} & ? \\
2/\sqrt{14} & ? & ? \\
3/\sqrt{14} & 0 & ? \\
\end{pmatrix}
\]
så att den beskriver en isometri! På hur många sätt kan detta göras? Vilka värden kan då determinanten anta?
2. Låt
\[ F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.\]
(a) Titta gärna på videorna av Vi Hart: Doodling in math: Spirals, Fibonacci, and being a plant, del 1-3 (detta behöver inte redovisas).
(b) Beräkna några potenser av $F$, tills ett mönster blir uppenbart.
(c) Vad är $F^{n+2} - F^{n+1} - F^n$? Tips: bryt ut faktorn $F^n$!
(d) Bestäm egenvärden och egenvektorer för matrisen $F$, samt en diagonalisering av $F$.
(e) Ange en explicit formel för
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot F^n \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\] dvs elementet högst upp till vänster i $F^n$.
Tuesday, October 4, 2016
Geogebralabb 2
1. Undersök hur kommandot FitLine kan användas för att anpassa en rät linje till en mängd av punkter enligt minsta-kvadratmetoden.
Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.
(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?
(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?
2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.
3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.
Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.
Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.
4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.
Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!
Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.
(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?
(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?
2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.
3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.
Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.
Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.
4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.
Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!
Tuesday, September 27, 2016
Dugga 3
Dugga 3 lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 7 oktober.
1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.
(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?
Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.
Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.
2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!
3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$
1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.
(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?
Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.
Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.
2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:
| $n$ | $f(n)$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5 | 8 |
| 6 | 8 |
| 7 | 8 |
| 8 | 9 |
| 9 | 11 |
| 10 | 13 |
Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!
3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$
Wednesday, September 21, 2016
Schemaändring!
Påminner om att vi har bytt plats på två tillfällen i linjäralgebra och statistik, och att det därför blir algebra (föreläsning i Pascal) torsdagen den 22 september, och statistik (också i Pascal) fredag den 23.
Monday, September 5, 2016
Ny kursomgång 2016!
Nu har vi kört igång 2016 års kurs!
Vi bestämde att vi börjar 8.15 och kör till 12.00, precis som tidigare år. Föreläsningarna är i Euler på tisdagar och i Pascal på fredagar. Därefter övningar i MVF26.
Vi har pratat om vektorer, addition av vektorer, multiplikation av vektorer med skalär, vinklar, avstånd.
På första föreläsningen pratade vi om skalärprodukt, och i fredags började vi med vektorprodukt (= kryssprodukt).
Något jag inte hann säga på föreläsningen, men som dök upp i övningarna, var att vektorprodukten inte är kommutativ, utan i stället uppfyller regeln \[u\times v = -(v\times u).\]
Kursplanering:
| Tillfälle | Tid och plats | Bokavsnitt | Innehåll |
|---|---|---|---|
| 1 | ti 30/8 Euler | 1.1-1.3 | Översikt. Vektorbegreppet, vinklar, avstånd, Skalärprodukt. |
| 2 | fr 2/9 Pascal | 1.4-1.5 | Vektorprodukt (kryssprodukt). Linjärkombination, span, ortogonalitet, projektion, koordinatsystem. |
| 3 | ti 6/9 Euler | 1.6 | Mer om kryssprodukt. ON-baser. Räta linjer och plan på ekvations- och parameterform. Spegling. |
| 4 | fr 9/9 Pascal | 1.1-1.6 | Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt. |
| 5 | ti 13/9 Euler | 2.1-2.3 | Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser. |
| 6 | fr 16/9 Pascal | 3.1-3.4 | Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen. |
| 7 | ti 20/9 Euler (+datorlabb 13-15!) | 3.5-3.7 | Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar. |
| 8 | to 22/9 Pascal (Lunchmöte med studentrepresentanter fredag den 23) | 4.1-4.3 | Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen. |
| 9 | ti 27/9 Euler | 5.1-5.3 | Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination. |
| 10 | fr 30/9 Pascal | 5.4-5.6 | Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden. |
| 11 | ti 4/10 Euler (+datorlabb 13-15!) | 6.1-6.3 | Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning. |
| 12 | fr 7/10 Pascal | 7.1-7.4 | Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar. |
| 13 | ti 11/10 Euler | 8.1-8.4 | Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering. |
| 14 | fr 14/10 Pascal | 9.1-9.4 | Grafer, slumpvandring, Markovkedjor. |
| 15 | ti 18/10 Euler | 1.1-9.4 | Hemuppgift 4 in. Repetition. |
| 16 | må 24/10 Euler | 1.1-9.4 | Repetition. |
| Tenta! | to 27/10 kl. 8.30-12.30 | Hela boken! | Tenta! |
Wednesday, November 25, 2015
Tentaresultat
Tentan är rättad sedan ett tag tillbaka, men pappersarbetet har tagit onödigt lång tid. Om ni kommer ihåg ert nummer och vill veta resultatet nu direkt, så har ni det här nedanför.
Bra resultat överlag kan man väl säga. Var tentan för lätt? Nja, jag tycker inte det. Jag tycker det var en tenta som kollar att man kan det man ska kunna.
L9MA30:
Nummer poäng betyg
821 14 U
1458 34 VG
1808 24 G
1935 26 G
LGMA30:
Nummer poäng betyg
314 32 VG
334 21 G
403 36 VG
478 38 VG
517 30 VG
527 29 G
533 32 VG
555 7 U
572 30 VG
604 30 VG
611 26 G
617 17 U
622 31 VG
629 31 VG
649 23 G
656 30 VG
659 26 G
701 42 VG
738 39 VG
757 23 G
767 33 VG
784 31 VG
858 44 VG
940 37 VG
1055 30 VG
1197 42 VG
1198 2 U
1199 25 G
1204 21 G
1485 34 VG
1499 30 VG
1510 43 VG
1519 22 G
1953 40 VG
1970 32 VG
Bra resultat överlag kan man väl säga. Var tentan för lätt? Nja, jag tycker inte det. Jag tycker det var en tenta som kollar att man kan det man ska kunna.
L9MA30:
Nummer poäng betyg
821 14 U
1458 34 VG
1808 24 G
1935 26 G
LGMA30:
Nummer poäng betyg
314 32 VG
334 21 G
403 36 VG
478 38 VG
517 30 VG
527 29 G
533 32 VG
555 7 U
572 30 VG
604 30 VG
611 26 G
617 17 U
622 31 VG
629 31 VG
649 23 G
656 30 VG
659 26 G
701 42 VG
738 39 VG
757 23 G
767 33 VG
784 31 VG
858 44 VG
940 37 VG
1055 30 VG
1197 42 VG
1198 2 U
1199 25 G
1204 21 G
1485 34 VG
1499 30 VG
1510 43 VG
1519 22 G
1953 40 VG
1970 32 VG
Friday, October 30, 2015
Kommentarer till tentan 2015-10-29
1. Vektorerna har längd $\sqrt{66}$ respektive $\sqrt{65}$, så $\mathbf{u}$ är längst. Deras skalärprodukt är 0, och de är således ortogonala. Ett exempel på en vektor som är ortogonal mot båda är kryssprodukten \[\begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6\\ -5 \\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43\\ 40 \\ -29\end{pmatrix}\]
2. En normal till planet är $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, så vi söker en punkt i planet som kan skrivas som $\begin{pmatrix}1\cdot t\\2\cdot t\\2\cdot t\end{pmatrix}$ för något $t$. Ekvationen $1\cdot t+2\cdot 2t+2\cdot 2t = 1$ ger $t=1/9$, så punkten är $\begin{pmatrix}1/9\\2/9\\2/9\end{pmatrix}$. Avståndet från origo till denna punkt är \[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \frac13.\]
Förvånansvärt många har påstått att
\[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{81}} = \frac{\sqrt{5}}9.\]
3. Rotationen beskrivs av matrisen \[\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\] och speglingen av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.\] Rotation följt av spegling beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ -\frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\]
4. Inversen är \[ \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -3 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]
Lösningen till ekvationssystemet ges av första kolumnen i inversen (eftersom högerledet är $(1,0,0)$), dvs $a= 3$, $b=-3$, och $c=1$.
Märkligt nog verkar det vara svårare att lösa ekvationssystemet än att invertera matrisen. Några har inverterat korrekt, och sedan satt igång med Gausselimination på ekvationssystemet utan att notera att det man då gör bara är en upprepning av samma räkningar fast utan andra och tredje kolumnen i högerledet. Ibland har det gått snett med en kolumn trots att det gick bra med tre kolumner på sidan innan.
5. Ekvationssystemet kan skrivas
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix}.\] Förlängning med transponatet ger
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix},\] dvs
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix}.\]
Det här ledde väl till de besvärligaste siffrorna på tentan, men det borde ändå inte vara oöverstigligt för hand. Man ser att matrisen har determinant $14\cdot 6 - 5\cdot 5 = 59$, så $x$ och $y$ måste kunna skrivas med nämnare 59.
Man kan använda Gausselimination, alternativt minnas (och kontrollera!) hur man inverterar en $2\times 2$-matris:
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix},\] så
\[ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix}51 \\ 46\end{pmatrix}.\]
Så den bästa lösningen är $x=\frac{51}{59}$ och $y=\frac{46}{59}$.
6. Egenvärdena är $\sqrt{10}$ och $-\sqrt{10}$. Egenvektorerna kan väljas (och uttryckas) på ett antal ekvivalenta sätt: Egenvektorer som hör till egenvärdet $\sqrt{10}$ är \[\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{10}}3 \\ 1\end{pmatrix},\] eller om man multiplicerar med 3: \[\begin{pmatrix} 1+\sqrt{10} \\ 3\end{pmatrix}.\] En annan vektor som är parallell med dessa är \[\begin{pmatrix} 3\\ \sqrt{10}-1 \end{pmatrix}.\] Och det finns väl ytterligare ett par alternativ. Egenvektorerna som hör till det andra egenvärdet, $-\sqrt{10}$, kan fås genom att genomgående byta tecken på $\sqrt{10}$.
För att beräkna $A^{10}$ hade några genomfört diagonalisering enligt konstens alla regler, och fått \[ A^{10} = \begin{pmatrix} 100,000 & 0\\ 0 & 100,000\end{pmatrix}.\]
Fast uppgiften sållade väl inte riktigt agnarna från vetet, eftersom den som sätter igång genom att först beräkna $A^2$, noterar att \[A^2 = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix},\] och får fram samma svar direkt genom att $A^{10} = (A^2)^5$.
Fast meningen var att (b)-uppgiften skulle ge en verifiering av att man har räknat rätt i (a). Några har fått fel egenvärden i (a), till exempel $\lambda = -3\pm 1$. och sedan tyvärr inte fattat misstanke efter att ha noterat att $A^2$ är en diagonalmatris med $10, 10$ på diagonalen. Matrisen $A^2$ måste ju ha som egenvärden (åtminstone) kvadraterna på egenvärdena till $A$, så ser man att $A^2$ bara har egenvärdet $10$, är $\pm \sqrt{10}$ de enda möjliga egenvärdena till $A$.
7. Här har många trott att matrisen representerar en rotation $90^\circ$. Koordinataxlarna avbildas ju på varandra: $x$-axeln på $z$-axeln, $z$-axeln på $y$-axeln, och $y$-axeln på $x$-axeln. Och det är ju räta vinklar mellan axlarna. Men om rotationen upprepas, är man tillbaka efter tre steg (matrisen upphöjt till 3 blir enhetsmatrisen). Så rotationen måste vara $120^\circ$. Eller $240^\circ$, men det finns inget med- och motsols i rymden.
Rotationsaxeln består av de vektorer som avbildas på sig själva, dvs de som uppfyller \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}.\] Det visar sig vara de vektorer som är parallella med \[\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\] dvs de som har alla tre koordinaterna lika.
8. En ON-bas är en bas av parvis ortogonala enhetsvektorer (alltså längd 1). Det är enklast att börja med att hitta en ortogonal bas, och därefter normera (dividera varje vektor med sin egen längd för att få en enhetsvektor). Först hittar man en (nollskild) vektor som är ortogonal mot $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, dvs summan av koordinaterna ska vara noll. Till exempel kan vi ta $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. För att hitta en tredje vektor som är ortogonal mot båda dessa, kan vi beräkna deras kryssprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Slutligen normerar vi, och får
\[\frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Notera att det finns oändligt många korrekta svar, och att man bland annat kan permutera koordinater (bara man gör det konsekvent) och byta tecken på den ena eller båda vektorerna.
2. En normal till planet är $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, så vi söker en punkt i planet som kan skrivas som $\begin{pmatrix}1\cdot t\\2\cdot t\\2\cdot t\end{pmatrix}$ för något $t$. Ekvationen $1\cdot t+2\cdot 2t+2\cdot 2t = 1$ ger $t=1/9$, så punkten är $\begin{pmatrix}1/9\\2/9\\2/9\end{pmatrix}$. Avståndet från origo till denna punkt är \[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \frac13.\]
Förvånansvärt många har påstått att
\[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{81}} = \frac{\sqrt{5}}9.\]
3. Rotationen beskrivs av matrisen \[\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\] och speglingen av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.\] Rotation följt av spegling beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ -\frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\]
4. Inversen är \[ \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -3 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]
Lösningen till ekvationssystemet ges av första kolumnen i inversen (eftersom högerledet är $(1,0,0)$), dvs $a= 3$, $b=-3$, och $c=1$.
Märkligt nog verkar det vara svårare att lösa ekvationssystemet än att invertera matrisen. Några har inverterat korrekt, och sedan satt igång med Gausselimination på ekvationssystemet utan att notera att det man då gör bara är en upprepning av samma räkningar fast utan andra och tredje kolumnen i högerledet. Ibland har det gått snett med en kolumn trots att det gick bra med tre kolumner på sidan innan.
5. Ekvationssystemet kan skrivas
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix}.\] Förlängning med transponatet ger
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix},\] dvs
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix}.\]
Det här ledde väl till de besvärligaste siffrorna på tentan, men det borde ändå inte vara oöverstigligt för hand. Man ser att matrisen har determinant $14\cdot 6 - 5\cdot 5 = 59$, så $x$ och $y$ måste kunna skrivas med nämnare 59.
Man kan använda Gausselimination, alternativt minnas (och kontrollera!) hur man inverterar en $2\times 2$-matris:
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix},\] så
\[ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix}51 \\ 46\end{pmatrix}.\]
Så den bästa lösningen är $x=\frac{51}{59}$ och $y=\frac{46}{59}$.
6. Egenvärdena är $\sqrt{10}$ och $-\sqrt{10}$. Egenvektorerna kan väljas (och uttryckas) på ett antal ekvivalenta sätt: Egenvektorer som hör till egenvärdet $\sqrt{10}$ är \[\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{10}}3 \\ 1\end{pmatrix},\] eller om man multiplicerar med 3: \[\begin{pmatrix} 1+\sqrt{10} \\ 3\end{pmatrix}.\] En annan vektor som är parallell med dessa är \[\begin{pmatrix} 3\\ \sqrt{10}-1 \end{pmatrix}.\] Och det finns väl ytterligare ett par alternativ. Egenvektorerna som hör till det andra egenvärdet, $-\sqrt{10}$, kan fås genom att genomgående byta tecken på $\sqrt{10}$.
För att beräkna $A^{10}$ hade några genomfört diagonalisering enligt konstens alla regler, och fått \[ A^{10} = \begin{pmatrix} 100,000 & 0\\ 0 & 100,000\end{pmatrix}.\]
Fast uppgiften sållade väl inte riktigt agnarna från vetet, eftersom den som sätter igång genom att först beräkna $A^2$, noterar att \[A^2 = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix},\] och får fram samma svar direkt genom att $A^{10} = (A^2)^5$.
Fast meningen var att (b)-uppgiften skulle ge en verifiering av att man har räknat rätt i (a). Några har fått fel egenvärden i (a), till exempel $\lambda = -3\pm 1$. och sedan tyvärr inte fattat misstanke efter att ha noterat att $A^2$ är en diagonalmatris med $10, 10$ på diagonalen. Matrisen $A^2$ måste ju ha som egenvärden (åtminstone) kvadraterna på egenvärdena till $A$, så ser man att $A^2$ bara har egenvärdet $10$, är $\pm \sqrt{10}$ de enda möjliga egenvärdena till $A$.
7. Här har många trott att matrisen representerar en rotation $90^\circ$. Koordinataxlarna avbildas ju på varandra: $x$-axeln på $z$-axeln, $z$-axeln på $y$-axeln, och $y$-axeln på $x$-axeln. Och det är ju räta vinklar mellan axlarna. Men om rotationen upprepas, är man tillbaka efter tre steg (matrisen upphöjt till 3 blir enhetsmatrisen). Så rotationen måste vara $120^\circ$. Eller $240^\circ$, men det finns inget med- och motsols i rymden.
Rotationsaxeln består av de vektorer som avbildas på sig själva, dvs de som uppfyller \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}.\] Det visar sig vara de vektorer som är parallella med \[\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\] dvs de som har alla tre koordinaterna lika.
8. En ON-bas är en bas av parvis ortogonala enhetsvektorer (alltså längd 1). Det är enklast att börja med att hitta en ortogonal bas, och därefter normera (dividera varje vektor med sin egen längd för att få en enhetsvektor). Först hittar man en (nollskild) vektor som är ortogonal mot $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, dvs summan av koordinaterna ska vara noll. Till exempel kan vi ta $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. För att hitta en tredje vektor som är ortogonal mot båda dessa, kan vi beräkna deras kryssprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Slutligen normerar vi, och får
\[\frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Notera att det finns oändligt många korrekta svar, och att man bland annat kan permutera koordinater (bara man gör det konsekvent) och byta tecken på den ena eller båda vektorerna.
Wednesday, October 28, 2015
Tentan 2015-08-24
1. Båda vektorerna har längd $\sqrt{6}$. Kryssprodukten är $$\begin{pmatrix} \sqrt{3}-1\\ -2+\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\end{pmatrix}$$ Vinkeln mellan $\mathbf{w}$ och $\mathbf{u}$ är rät.
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
Tuesday, October 27, 2015
Tentan 2015-01-05
1. Vektorerna har längd 3 respektive $\sqrt{6}$. Deras kryssprodukt är $\begin{pmatrix} \sqrt{3}-2\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\\ -1\end{pmatrix} $. Kontrollera att svaret är ortogonalt mot både $u$ och $v$!
2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.
3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3} \end{pmatrix}.\]
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!
8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.
2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.
3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3} \end{pmatrix}.\]
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!
8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.
Extra övning
Morgondagens (alltså onsdag 28/10) extra övningstillfälle blir i sal MVF26 klockan 10-12. Det blir allmän frågestund, med visst fokus på linjär algebra!
Monday, October 19, 2015
Tuesday, October 6, 2015
Dugga 3
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 9 oktober.
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
| $n$ | $\sigma(n)$ |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 7 |
| 5 | 6 |
| 6 | 12 |
| 7 | 8 |
| 8 | 15 |
| 9 | 13 |
| 10 | 18 |
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
Tuesday, September 22, 2015
Datorlabb, Geogebra
Syftet med laborationen är att lära känna programmet Geogebra, och experimentera med dess funktioner för linjär algebra.
1.
Bekanta dig med programmet Geogebra. Se hur man kan skapa objekt som punkter, räta linjer, och polygoner, hur dessa representeras både grafiskt och algebraiskt, samt hur man kan editera dem grafiskt genom att dra i punkter.
2.
Låt Geogebra beräkna vinkeln som ges av de tre punkterna $(0,1)$, $(2,0)$, och $(2,2)$. Programmet ger svaret numeriskt. Kontrollera att det stämmer. Vad händer om man tar punkterna i motsatt ordning?
3.
Skapa två vektorer i tre dimensioner och beräkna deras skalär- och vektorprodukter med hjälp av kommandona Cross och Dot. Experimentera med 3D-grafiken och se vad som händer om vektorerna är parallella respektive ortogonala.
4.
Rita enhetskvadraten. Skapa en $2\times 2$-matris $M$, till exempel $$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ och använd kommandot ApplyMatrix för att se hur matrisen $M$ verkar på enhetskvadraten.
Experimentera med andra matriser och andra figurer (gärna osymmetriska).
Beräkna determinanten för matrisen, och se vad som händer när man "applicerar" en matris vars determinant är positiv/negativ/noll. Beräkna arean av en figur, och arean av bilden.
Kan motsvarande göras i tre dimensioner?
5.
Använd kommandot Inverse för att beräkna inversen till en matris. Undersök vad som händer om man startar med en figur, applicerar matrisen $M$, och därefter applicerar inverse(M) på resultatet.
Friday, September 18, 2015
Dugga 2
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 25 september.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
Monday, September 7, 2015
Dugga 1
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 11 september.
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
Monday, August 31, 2015
Kursstart!
Då var det dags för linjär algebra igen, och jag kommer att fortsätta att använda den här bloggen. Förhoppningsvis kan det vara nyttigt för alla inblandade att kunna se lite vad som hände i fjol.
Kursboken blir, precis som förra året, Linjär algebra från en geometrisk utgångspunktoch är skriven av min chalmerskollega Stefan Lemurell. Den ska finnas på bokhandeln i kårhuset.
Jag skrev lite om boken i den allra första bloggposten.
Vi kommer att börja tillfällena med "föreläsning" klockan 8-10 i Euler (tisdagar) eller Pascal (fredagar), och fortsätta med "övning" i sal MVF26 klockan 10-12. Se även schemat. Vi kommer att köra igenom i princip hela boken, med avsnitten i ordningsföljd, enkelt och bra!
Det kommer dessutom att bli två datorlabbar, den 22 september och 6 oktober. Mer info om dem kommer senare!
Något om examinationen: Som synes är det tänkt att det aka bli fyra hemduggor. Kanske två-tre kunde ha räckt, men jag tror det är bättre att ha ett större antal, och att var och en av dem inte behöver vara så skräckinjagande. Hemduggorna kommer att, om de görs ordentligt, kunna ge bonuspoäng på tentan, men detta förutsätter, utan pardon, att de lämnas in senast vid starten av respektive föreläsning, för sedan är det är meningen att vi ska kunna diskutera dem. Men det är som sagt fyra stycken, så missar man en är det inte hela världen.
På tentan kommer man att få ha med sig en egenhändigt skriven "formelsamling" på ett A4-ark. Däremot kommer inga tekniska hjälpmedel att tillåtas! I fjol sa jag att man skulle få ha med sig miniräknare, vilket bara ledde till onödiga diskussioner om exakt vilka räknare som skulle vara tillåtna.
Kursboken blir, precis som förra året, Linjär algebra från en geometrisk utgångspunktoch är skriven av min chalmerskollega Stefan Lemurell. Den ska finnas på bokhandeln i kårhuset.
Jag skrev lite om boken i den allra första bloggposten.
Vi kommer att börja tillfällena med "föreläsning" klockan 8-10 i Euler (tisdagar) eller Pascal (fredagar), och fortsätta med "övning" i sal MVF26 klockan 10-12. Se även schemat. Vi kommer att köra igenom i princip hela boken, med avsnitten i ordningsföljd, enkelt och bra!
Det kommer dessutom att bli två datorlabbar, den 22 september och 6 oktober. Mer info om dem kommer senare!
| Tillfälle | Tid och plats | Bokavsnitt | Innehåll |
|---|---|---|---|
| 1 | ti 1/9 Euler | 1.1-1.3 | Översikt. Vektorbegreppet, linjärkombination, span. Skalärprodukt, ortogonalitet, projektion, spegling. |
| 2 | fr 4/9 Pascal | 1.4-1.5 | Vektorprodukt (kryssprodukt). Koordinatsystem, bas, ON-bas, avstånd. |
| 3 | ti 8/9 Euler | 1.6 | Räta linjer och plan, ekvations- och parameterform. |
| 4 | fr 11/9 Pascal | 1.1-1.6 | Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt. |
| 5 | ti 15/9 Euler | 2.1-2.3 | Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser. |
| 6 | fr 18/9 Pascal | 3.1-3.4 | Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen. |
| 7 | ti 22/9 Euler (+datorlabb!) | 3.5-3.7 | Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar. |
| 8 | fr 25/9 Pascal | 4.1-4.3 | Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen. |
| 9 | ti 29/10 Euler | 5.1-5.3 | Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination. |
| 10 | fr 2/10 Pascal | 5.4-5.6 | Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden. |
| 11 | ti 6/10 Euler (+datorlabb!) | 6.1-6.3 | Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning. |
| 12 | fr 9/10 Pascal | 7.1-7.4 | Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar. |
| 13 | ti 13/10 Euler | 8.1-8.4 | Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering. |
| 14 | fr 16/10 Pascal | 9.1-9.4 | Grafer, slumpvandring, Markovkedjor. |
| 15 | ti 20/10 Euler | 1.1-9.4 | Hemuppgift 4 in. Repetition. |
| 16 | må 26/10 MVF26 | 1.1-9.4 | Repetition. |
| Tenta! | to 29/10 kl. 8.30-12.15 | Hela boken! | Tenta! |
Något om examinationen: Som synes är det tänkt att det aka bli fyra hemduggor. Kanske två-tre kunde ha räckt, men jag tror det är bättre att ha ett större antal, och att var och en av dem inte behöver vara så skräckinjagande. Hemduggorna kommer att, om de görs ordentligt, kunna ge bonuspoäng på tentan, men detta förutsätter, utan pardon, att de lämnas in senast vid starten av respektive föreläsning, för sedan är det är meningen att vi ska kunna diskutera dem. Men det är som sagt fyra stycken, så missar man en är det inte hela världen.
På tentan kommer man att få ha med sig en egenhändigt skriven "formelsamling" på ett A4-ark. Däremot kommer inga tekniska hjälpmedel att tillåtas! I fjol sa jag att man skulle få ha med sig miniräknare, vilket bara ledde till onödiga diskussioner om exakt vilka räknare som skulle vara tillåtna.
Wednesday, October 29, 2014
Inför tentan
På tentan får man ha med sig ett A4-ark, handskrivet på båda sidor. Man får också ha med sig miniräknare, förutsatt att den inte kan göra matrisoperationer!
Det här med att man får ha med sig miniräknare ångrar jag lite, det visade sig bli krångligt att bestämma vilka miniräknare som är ok och vilka som inte är det. Det blir inte rättvist om någon har en miniräknare som kan kolla med förprogrammerade funktioner om till exempel en matrisinvers är korrekt.
Men nu har jag sagt att man får ha med sig miniräknare, och då får jag stå för det. Dock vill jag säga att den som bara har en värsting lugnt kan gå till tentan utan miniräknare. Det räcker att kunna multiplikationstabellen, värre uträkningar blir det inte.
Det här med att man får ha med sig miniräknare ångrar jag lite, det visade sig bli krångligt att bestämma vilka miniräknare som är ok och vilka som inte är det. Det blir inte rättvist om någon har en miniräknare som kan kolla med förprogrammerade funktioner om till exempel en matrisinvers är korrekt.
Men nu har jag sagt att man får ha med sig miniräknare, och då får jag stå för det. Dock vill jag säga att den som bara har en värsting lugnt kan gå till tentan utan miniräknare. Det räcker att kunna multiplikationstabellen, värre uträkningar blir det inte.
Thursday, October 23, 2014
Snabbtest
Det här är tänkt att vara ett lite lättsammare sätt att få koll på kursen och eventuellt få bort några missförstånd. Inga tunga uträkningar som i hemuppgifterna, utan snabba frågor och snabba svar.
- I tre dimensioner, skriv upp ekvationen för $xy$-planet!
- Hur lång är vektorn $(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$ i $\mathbb{R}^{10}$?
- Flervalsfråga: Triangeln med hörn i punkterna $(0,1,3)$, $(-1,2,-1)$ och $(3,1,1)$ har area (a) $7\sqrt{6} + 6\sqrt{28} + \sqrt{42}$, (b) $84^{1/3}/2$ eller (c) $\sqrt{209}/2$?
- Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt på en kryssprodukt av två vektorer?
- Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt på en skalärprodukt av två vektorer?
- Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt när man har inverterat en matris?
- Sant eller falskt: Man kan ta två A4-papper, göra ett hål med en nål mitt i det ena, och hänga det andra i hålet.
- Sant eller falskt: Om vi hade fyra rumsdimensioner, skulle man kunna ta två A4-papper, göra ett hål med en nål mitt i det ena, och hänga det andra i hålet.
- Flervalsfråga: Inversen till matrisen \[\pmatrix{3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\\ 0 & 3 & 1}\] är (a) \[\frac1{7}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8},\] (b) \[\frac1{17}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8}\] eller (c) \[\frac1{31}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8}.\]
- Sant eller falskt: ett ekvationssystem med fler variabler än ekvationer går alltid att lösa.
- Om jag kastar en tärning 100 gånger och fyller i utfallen (siffrorna 1 till 6) i en $10\times 10$-matris, vad är då mest troligt, att den blir inverterbar eller att den inte blir det?
- Låt avbildningen $h$ vara spegling i planet $2x-y+2z= 0$. Vilka är egenvärdena till $h$?
- Sant eller falskt: En (reell) $5\times 5$-matris har alltid ett (reellt) egenvärde.
- Sant eller falskt: En (reell) $6\times 6$-matris har alltid ett (reellt) egenvärde.
- Skriv upp en $3\times 3$-matris med egenvärden 3, 5 och 7.
- Sant eller falskt: Om ett tal (säg 17) är en rot till den karakteristiska kvationen, finns det alltid en (nollskild) egenvektor med egenvärde 17.
- Sant eller falskt: Om ett tal (säg 17) är en dubbelrot till den karakteristiska ekvationen, så finns det alltid två oberoende egenvektorer med egenvärde 17.
- Ekvationen är $z=0$. Det här verkar en del ha missat på senaste duggan. $z$-axeln är där $z$ är vad det vill och de andra är noll. I $xy$-planet är $x$ och $y$ vad som helst och $z$ är noll!
- Den har längd $\sqrt{10}$.
- Det enda som kan vara rätt är (c), $\sqrt{209}/2$. Flytta triangeln så att ett hörn hamnar i origo, till exempel subtrahera $(0,1,3)$ så att vi får $(0,0,0)$, $(-1,1,-4)$ och $(3,0,-2)$. Triangelns area är då halva längden av kryssprodukten \[\pmatrix{-1\\1\\-4} \times \pmatrix{3\\0\\-2}.\] Utan att räkna kan vi se att längden av kryssprodukten är kvadratroten ur ett heltal, så varken (a) eller (b) kan vara rätt.
- Kolla att svaret har skalärprodukt noll med var och en av faktorerna.
- Räkna om!
- Kolla att matrisen gånger inversen blir enhetsmatrisen.
- Öh, falskt!?
- Sant. Typ. Två plan i $\mathbb{R}^4$ kan skära varandra i en punkt.
- Bara (b) kan vara rätt. Vi kan se med Sarrus regel att determinanten är $9+9-1=17$. Inversen måste då ha element som är heltal dividerat med 17, så varken (a) eller (c) kan vara rätt.
- Falskt. Systemet $x_1+x_2+x_3=0$ och $x_1+x_2+x_3=1$ till exempel går ju inte att lösa.
- Den blir nästan säkert inverterbar. Det är bara om determinanten blir 0 som den inte går att invertera (men jag vet inte vad sannolikheten är, testa med Maple?).
- 1 (dubbelrot), och $-1$. Det spelar ingen roll vad planet är, en spegling fixerar ett plan (dvs det får egenvärde 1) och vektorerna som är ortogonala mot planet får egenvärde $-1$.
- Sant. Det karakteristiska polynomet har ledande koefficient (dvs term av högst grad) $-\lambda^5$. Eftersom 5 är udda går det mot $+\infty$ när $\lambda\to-\infty$, och mot $-\infty$ när $\lambda\to+\infty$. Någonstans måste det bli noll på vägen.
- Falskt. Förra argumentet funkar inte eftersom 6 är jämnt, och här är ett motexempel: \[\pmatrix{0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0}.\] Det karakteristiska polynomet blir $(\lambda^2+1)^3$, vilket inte har några reella nollställen. Den här avbildningen kan ses som att man roterar $90^\circ$ i $x_1x_2$-planet, och samtidigt i $x_3x_4$-planet och $x_5x_6$-planet.
- Enklaste lösningen är \[\pmatrix{3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7}.\]
- Sant. Subtraherar man 17 från diagonalen och Gaussar, blir det (minst) en nollrad och en fri kolumn. Så då finns det en nollskild lösning till ekvationen som säger att $x$ är en egenvektor med egenvärde 17.
- Falskt. Det här var Pontus fråga som vi inte hann med svaret på. Motexempel: \[\pmatrix{17 & 1\\ 0 & 17}.\]
Subscribe to:
Posts (Atom)