Tuesday, October 27, 2015
Extra övning
Morgondagens (alltså onsdag 28/10) extra övningstillfälle blir i sal MVF26 klockan 10-12. Det blir allmän frågestund, med visst fokus på linjär algebra!
Monday, October 19, 2015
Tuesday, October 6, 2015
Dugga 3
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 9 oktober.
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
| $n$ | $\sigma(n)$ |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 7 |
| 5 | 6 |
| 6 | 12 |
| 7 | 8 |
| 8 | 15 |
| 9 | 13 |
| 10 | 18 |
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
Tuesday, September 22, 2015
Datorlabb, Geogebra
Syftet med laborationen är att lära känna programmet Geogebra, och experimentera med dess funktioner för linjär algebra.
1.
Bekanta dig med programmet Geogebra. Se hur man kan skapa objekt som punkter, räta linjer, och polygoner, hur dessa representeras både grafiskt och algebraiskt, samt hur man kan editera dem grafiskt genom att dra i punkter.
2.
Låt Geogebra beräkna vinkeln som ges av de tre punkterna $(0,1)$, $(2,0)$, och $(2,2)$. Programmet ger svaret numeriskt. Kontrollera att det stämmer. Vad händer om man tar punkterna i motsatt ordning?
3.
Skapa två vektorer i tre dimensioner och beräkna deras skalär- och vektorprodukter med hjälp av kommandona Cross och Dot. Experimentera med 3D-grafiken och se vad som händer om vektorerna är parallella respektive ortogonala.
4.
Rita enhetskvadraten. Skapa en $2\times 2$-matris $M$, till exempel $$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ och använd kommandot ApplyMatrix för att se hur matrisen $M$ verkar på enhetskvadraten.
Experimentera med andra matriser och andra figurer (gärna osymmetriska).
Beräkna determinanten för matrisen, och se vad som händer när man "applicerar" en matris vars determinant är positiv/negativ/noll. Beräkna arean av en figur, och arean av bilden.
Kan motsvarande göras i tre dimensioner?
5.
Använd kommandot Inverse för att beräkna inversen till en matris. Undersök vad som händer om man startar med en figur, applicerar matrisen $M$, och därefter applicerar inverse(M) på resultatet.
Friday, September 18, 2015
Dugga 2
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 25 september.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
Monday, September 7, 2015
Dugga 1
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 11 september.
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
Monday, August 31, 2015
Kursstart!
Då var det dags för linjär algebra igen, och jag kommer att fortsätta att använda den här bloggen. Förhoppningsvis kan det vara nyttigt för alla inblandade att kunna se lite vad som hände i fjol.
Kursboken blir, precis som förra året, Linjär algebra från en geometrisk utgångspunktoch är skriven av min chalmerskollega Stefan Lemurell. Den ska finnas på bokhandeln i kårhuset.
Jag skrev lite om boken i den allra första bloggposten.
Vi kommer att börja tillfällena med "föreläsning" klockan 8-10 i Euler (tisdagar) eller Pascal (fredagar), och fortsätta med "övning" i sal MVF26 klockan 10-12. Se även schemat. Vi kommer att köra igenom i princip hela boken, med avsnitten i ordningsföljd, enkelt och bra!
Det kommer dessutom att bli två datorlabbar, den 22 september och 6 oktober. Mer info om dem kommer senare!
Något om examinationen: Som synes är det tänkt att det aka bli fyra hemduggor. Kanske två-tre kunde ha räckt, men jag tror det är bättre att ha ett större antal, och att var och en av dem inte behöver vara så skräckinjagande. Hemduggorna kommer att, om de görs ordentligt, kunna ge bonuspoäng på tentan, men detta förutsätter, utan pardon, att de lämnas in senast vid starten av respektive föreläsning, för sedan är det är meningen att vi ska kunna diskutera dem. Men det är som sagt fyra stycken, så missar man en är det inte hela världen.
På tentan kommer man att få ha med sig en egenhändigt skriven "formelsamling" på ett A4-ark. Däremot kommer inga tekniska hjälpmedel att tillåtas! I fjol sa jag att man skulle få ha med sig miniräknare, vilket bara ledde till onödiga diskussioner om exakt vilka räknare som skulle vara tillåtna.
Kursboken blir, precis som förra året, Linjär algebra från en geometrisk utgångspunktoch är skriven av min chalmerskollega Stefan Lemurell. Den ska finnas på bokhandeln i kårhuset.
Jag skrev lite om boken i den allra första bloggposten.
Vi kommer att börja tillfällena med "föreläsning" klockan 8-10 i Euler (tisdagar) eller Pascal (fredagar), och fortsätta med "övning" i sal MVF26 klockan 10-12. Se även schemat. Vi kommer att köra igenom i princip hela boken, med avsnitten i ordningsföljd, enkelt och bra!
Det kommer dessutom att bli två datorlabbar, den 22 september och 6 oktober. Mer info om dem kommer senare!
| Tillfälle | Tid och plats | Bokavsnitt | Innehåll |
|---|---|---|---|
| 1 | ti 1/9 Euler | 1.1-1.3 | Översikt. Vektorbegreppet, linjärkombination, span. Skalärprodukt, ortogonalitet, projektion, spegling. |
| 2 | fr 4/9 Pascal | 1.4-1.5 | Vektorprodukt (kryssprodukt). Koordinatsystem, bas, ON-bas, avstånd. |
| 3 | ti 8/9 Euler | 1.6 | Räta linjer och plan, ekvations- och parameterform. |
| 4 | fr 11/9 Pascal | 1.1-1.6 | Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt. |
| 5 | ti 15/9 Euler | 2.1-2.3 | Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser. |
| 6 | fr 18/9 Pascal | 3.1-3.4 | Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen. |
| 7 | ti 22/9 Euler (+datorlabb!) | 3.5-3.7 | Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar. |
| 8 | fr 25/9 Pascal | 4.1-4.3 | Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen. |
| 9 | ti 29/10 Euler | 5.1-5.3 | Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination. |
| 10 | fr 2/10 Pascal | 5.4-5.6 | Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden. |
| 11 | ti 6/10 Euler (+datorlabb!) | 6.1-6.3 | Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning. |
| 12 | fr 9/10 Pascal | 7.1-7.4 | Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar. |
| 13 | ti 13/10 Euler | 8.1-8.4 | Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering. |
| 14 | fr 16/10 Pascal | 9.1-9.4 | Grafer, slumpvandring, Markovkedjor. |
| 15 | ti 20/10 Euler | 1.1-9.4 | Hemuppgift 4 in. Repetition. |
| 16 | må 26/10 MVF26 | 1.1-9.4 | Repetition. |
| Tenta! | to 29/10 kl. 8.30-12.15 | Hela boken! | Tenta! |
Något om examinationen: Som synes är det tänkt att det aka bli fyra hemduggor. Kanske två-tre kunde ha räckt, men jag tror det är bättre att ha ett större antal, och att var och en av dem inte behöver vara så skräckinjagande. Hemduggorna kommer att, om de görs ordentligt, kunna ge bonuspoäng på tentan, men detta förutsätter, utan pardon, att de lämnas in senast vid starten av respektive föreläsning, för sedan är det är meningen att vi ska kunna diskutera dem. Men det är som sagt fyra stycken, så missar man en är det inte hela världen.
På tentan kommer man att få ha med sig en egenhändigt skriven "formelsamling" på ett A4-ark. Däremot kommer inga tekniska hjälpmedel att tillåtas! I fjol sa jag att man skulle få ha med sig miniräknare, vilket bara ledde till onödiga diskussioner om exakt vilka räknare som skulle vara tillåtna.
Subscribe to:
Posts (Atom)