1. Vektorerna har längd 3 respektive $\sqrt{6}$. Deras kryssprodukt är $\begin{pmatrix} \sqrt{3}-2\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\\ -1\end{pmatrix} $. Kontrollera att svaret är ortogonalt mot både $u$ och $v$!
2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.
3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3} \end{pmatrix}.\]
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!
8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.
Tuesday, October 27, 2015
Extra övning
Morgondagens (alltså onsdag 28/10) extra övningstillfälle blir i sal MVF26 klockan 10-12. Det blir allmän frågestund, med visst fokus på linjär algebra!
Monday, October 19, 2015
Tuesday, October 6, 2015
Dugga 3
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 9 oktober.
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
| $n$ | $\sigma(n)$ |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 7 |
| 5 | 6 |
| 6 | 12 |
| 7 | 8 |
| 8 | 15 |
| 9 | 13 |
| 10 | 18 |
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
Tuesday, September 22, 2015
Datorlabb, Geogebra
Syftet med laborationen är att lära känna programmet Geogebra, och experimentera med dess funktioner för linjär algebra.
1.
Bekanta dig med programmet Geogebra. Se hur man kan skapa objekt som punkter, räta linjer, och polygoner, hur dessa representeras både grafiskt och algebraiskt, samt hur man kan editera dem grafiskt genom att dra i punkter.
2.
Låt Geogebra beräkna vinkeln som ges av de tre punkterna $(0,1)$, $(2,0)$, och $(2,2)$. Programmet ger svaret numeriskt. Kontrollera att det stämmer. Vad händer om man tar punkterna i motsatt ordning?
3.
Skapa två vektorer i tre dimensioner och beräkna deras skalär- och vektorprodukter med hjälp av kommandona Cross och Dot. Experimentera med 3D-grafiken och se vad som händer om vektorerna är parallella respektive ortogonala.
4.
Rita enhetskvadraten. Skapa en $2\times 2$-matris $M$, till exempel $$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ och använd kommandot ApplyMatrix för att se hur matrisen $M$ verkar på enhetskvadraten.
Experimentera med andra matriser och andra figurer (gärna osymmetriska).
Beräkna determinanten för matrisen, och se vad som händer när man "applicerar" en matris vars determinant är positiv/negativ/noll. Beräkna arean av en figur, och arean av bilden.
Kan motsvarande göras i tre dimensioner?
5.
Använd kommandot Inverse för att beräkna inversen till en matris. Undersök vad som händer om man startar med en figur, applicerar matrisen $M$, och därefter applicerar inverse(M) på resultatet.
Friday, September 18, 2015
Dugga 2
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 25 september.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
Monday, September 7, 2015
Dugga 1
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 11 september.
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
Subscribe to:
Posts (Atom)