1. Undersök hur kommandot FitLine kan användas för att anpassa en rät linje till en mängd av punkter enligt minsta-kvadratmetoden.
Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.
(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?
(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?
2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.
3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.
Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.
Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.
4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.
Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!
Tuesday, October 4, 2016
Tuesday, September 27, 2016
Dugga 3
Dugga 3 lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 7 oktober.
1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.
(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?
Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.
Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.
2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!
3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$
1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.
(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?
Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.
Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.
2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:
| $n$ | $f(n)$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5 | 8 |
| 6 | 8 |
| 7 | 8 |
| 8 | 9 |
| 9 | 11 |
| 10 | 13 |
Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!
3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$
Wednesday, September 21, 2016
Schemaändring!
Påminner om att vi har bytt plats på två tillfällen i linjäralgebra och statistik, och att det därför blir algebra (föreläsning i Pascal) torsdagen den 22 september, och statistik (också i Pascal) fredag den 23.
Monday, September 5, 2016
Ny kursomgång 2016!
Nu har vi kört igång 2016 års kurs!
Vi bestämde att vi börjar 8.15 och kör till 12.00, precis som tidigare år. Föreläsningarna är i Euler på tisdagar och i Pascal på fredagar. Därefter övningar i MVF26.
Vi har pratat om vektorer, addition av vektorer, multiplikation av vektorer med skalär, vinklar, avstånd.
På första föreläsningen pratade vi om skalärprodukt, och i fredags började vi med vektorprodukt (= kryssprodukt).
Något jag inte hann säga på föreläsningen, men som dök upp i övningarna, var att vektorprodukten inte är kommutativ, utan i stället uppfyller regeln \[u\times v = -(v\times u).\]
Kursplanering:
| Tillfälle | Tid och plats | Bokavsnitt | Innehåll |
|---|---|---|---|
| 1 | ti 30/8 Euler | 1.1-1.3 | Översikt. Vektorbegreppet, vinklar, avstånd, Skalärprodukt. |
| 2 | fr 2/9 Pascal | 1.4-1.5 | Vektorprodukt (kryssprodukt). Linjärkombination, span, ortogonalitet, projektion, koordinatsystem. |
| 3 | ti 6/9 Euler | 1.6 | Mer om kryssprodukt. ON-baser. Räta linjer och plan på ekvations- och parameterform. Spegling. |
| 4 | fr 9/9 Pascal | 1.1-1.6 | Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt. |
| 5 | ti 13/9 Euler | 2.1-2.3 | Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser. |
| 6 | fr 16/9 Pascal | 3.1-3.4 | Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen. |
| 7 | ti 20/9 Euler (+datorlabb 13-15!) | 3.5-3.7 | Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar. |
| 8 | to 22/9 Pascal (Lunchmöte med studentrepresentanter fredag den 23) | 4.1-4.3 | Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen. |
| 9 | ti 27/9 Euler | 5.1-5.3 | Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination. |
| 10 | fr 30/9 Pascal | 5.4-5.6 | Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden. |
| 11 | ti 4/10 Euler (+datorlabb 13-15!) | 6.1-6.3 | Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning. |
| 12 | fr 7/10 Pascal | 7.1-7.4 | Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar. |
| 13 | ti 11/10 Euler | 8.1-8.4 | Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering. |
| 14 | fr 14/10 Pascal | 9.1-9.4 | Grafer, slumpvandring, Markovkedjor. |
| 15 | ti 18/10 Euler | 1.1-9.4 | Hemuppgift 4 in. Repetition. |
| 16 | må 24/10 Euler | 1.1-9.4 | Repetition. |
| Tenta! | to 27/10 kl. 8.30-12.30 | Hela boken! | Tenta! |
Wednesday, November 25, 2015
Tentaresultat
Tentan är rättad sedan ett tag tillbaka, men pappersarbetet har tagit onödigt lång tid. Om ni kommer ihåg ert nummer och vill veta resultatet nu direkt, så har ni det här nedanför.
Bra resultat överlag kan man väl säga. Var tentan för lätt? Nja, jag tycker inte det. Jag tycker det var en tenta som kollar att man kan det man ska kunna.
L9MA30:
Nummer poäng betyg
821 14 U
1458 34 VG
1808 24 G
1935 26 G
LGMA30:
Nummer poäng betyg
314 32 VG
334 21 G
403 36 VG
478 38 VG
517 30 VG
527 29 G
533 32 VG
555 7 U
572 30 VG
604 30 VG
611 26 G
617 17 U
622 31 VG
629 31 VG
649 23 G
656 30 VG
659 26 G
701 42 VG
738 39 VG
757 23 G
767 33 VG
784 31 VG
858 44 VG
940 37 VG
1055 30 VG
1197 42 VG
1198 2 U
1199 25 G
1204 21 G
1485 34 VG
1499 30 VG
1510 43 VG
1519 22 G
1953 40 VG
1970 32 VG
Bra resultat överlag kan man väl säga. Var tentan för lätt? Nja, jag tycker inte det. Jag tycker det var en tenta som kollar att man kan det man ska kunna.
L9MA30:
Nummer poäng betyg
821 14 U
1458 34 VG
1808 24 G
1935 26 G
LGMA30:
Nummer poäng betyg
314 32 VG
334 21 G
403 36 VG
478 38 VG
517 30 VG
527 29 G
533 32 VG
555 7 U
572 30 VG
604 30 VG
611 26 G
617 17 U
622 31 VG
629 31 VG
649 23 G
656 30 VG
659 26 G
701 42 VG
738 39 VG
757 23 G
767 33 VG
784 31 VG
858 44 VG
940 37 VG
1055 30 VG
1197 42 VG
1198 2 U
1199 25 G
1204 21 G
1485 34 VG
1499 30 VG
1510 43 VG
1519 22 G
1953 40 VG
1970 32 VG
Friday, October 30, 2015
Kommentarer till tentan 2015-10-29
1. Vektorerna har längd $\sqrt{66}$ respektive $\sqrt{65}$, så $\mathbf{u}$ är längst. Deras skalärprodukt är 0, och de är således ortogonala. Ett exempel på en vektor som är ortogonal mot båda är kryssprodukten \[\begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6\\ -5 \\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43\\ 40 \\ -29\end{pmatrix}\]
2. En normal till planet är $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, så vi söker en punkt i planet som kan skrivas som $\begin{pmatrix}1\cdot t\\2\cdot t\\2\cdot t\end{pmatrix}$ för något $t$. Ekvationen $1\cdot t+2\cdot 2t+2\cdot 2t = 1$ ger $t=1/9$, så punkten är $\begin{pmatrix}1/9\\2/9\\2/9\end{pmatrix}$. Avståndet från origo till denna punkt är \[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \frac13.\]
Förvånansvärt många har påstått att
\[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{81}} = \frac{\sqrt{5}}9.\]
3. Rotationen beskrivs av matrisen \[\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\] och speglingen av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.\] Rotation följt av spegling beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ -\frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\]
4. Inversen är \[ \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -3 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]
Lösningen till ekvationssystemet ges av första kolumnen i inversen (eftersom högerledet är $(1,0,0)$), dvs $a= 3$, $b=-3$, och $c=1$.
Märkligt nog verkar det vara svårare att lösa ekvationssystemet än att invertera matrisen. Några har inverterat korrekt, och sedan satt igång med Gausselimination på ekvationssystemet utan att notera att det man då gör bara är en upprepning av samma räkningar fast utan andra och tredje kolumnen i högerledet. Ibland har det gått snett med en kolumn trots att det gick bra med tre kolumner på sidan innan.
5. Ekvationssystemet kan skrivas
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix}.\] Förlängning med transponatet ger
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix},\] dvs
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix}.\]
Det här ledde väl till de besvärligaste siffrorna på tentan, men det borde ändå inte vara oöverstigligt för hand. Man ser att matrisen har determinant $14\cdot 6 - 5\cdot 5 = 59$, så $x$ och $y$ måste kunna skrivas med nämnare 59.
Man kan använda Gausselimination, alternativt minnas (och kontrollera!) hur man inverterar en $2\times 2$-matris:
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix},\] så
\[ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix}51 \\ 46\end{pmatrix}.\]
Så den bästa lösningen är $x=\frac{51}{59}$ och $y=\frac{46}{59}$.
6. Egenvärdena är $\sqrt{10}$ och $-\sqrt{10}$. Egenvektorerna kan väljas (och uttryckas) på ett antal ekvivalenta sätt: Egenvektorer som hör till egenvärdet $\sqrt{10}$ är \[\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{10}}3 \\ 1\end{pmatrix},\] eller om man multiplicerar med 3: \[\begin{pmatrix} 1+\sqrt{10} \\ 3\end{pmatrix}.\] En annan vektor som är parallell med dessa är \[\begin{pmatrix} 3\\ \sqrt{10}-1 \end{pmatrix}.\] Och det finns väl ytterligare ett par alternativ. Egenvektorerna som hör till det andra egenvärdet, $-\sqrt{10}$, kan fås genom att genomgående byta tecken på $\sqrt{10}$.
För att beräkna $A^{10}$ hade några genomfört diagonalisering enligt konstens alla regler, och fått \[ A^{10} = \begin{pmatrix} 100,000 & 0\\ 0 & 100,000\end{pmatrix}.\]
Fast uppgiften sållade väl inte riktigt agnarna från vetet, eftersom den som sätter igång genom att först beräkna $A^2$, noterar att \[A^2 = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix},\] och får fram samma svar direkt genom att $A^{10} = (A^2)^5$.
Fast meningen var att (b)-uppgiften skulle ge en verifiering av att man har räknat rätt i (a). Några har fått fel egenvärden i (a), till exempel $\lambda = -3\pm 1$. och sedan tyvärr inte fattat misstanke efter att ha noterat att $A^2$ är en diagonalmatris med $10, 10$ på diagonalen. Matrisen $A^2$ måste ju ha som egenvärden (åtminstone) kvadraterna på egenvärdena till $A$, så ser man att $A^2$ bara har egenvärdet $10$, är $\pm \sqrt{10}$ de enda möjliga egenvärdena till $A$.
7. Här har många trott att matrisen representerar en rotation $90^\circ$. Koordinataxlarna avbildas ju på varandra: $x$-axeln på $z$-axeln, $z$-axeln på $y$-axeln, och $y$-axeln på $x$-axeln. Och det är ju räta vinklar mellan axlarna. Men om rotationen upprepas, är man tillbaka efter tre steg (matrisen upphöjt till 3 blir enhetsmatrisen). Så rotationen måste vara $120^\circ$. Eller $240^\circ$, men det finns inget med- och motsols i rymden.
Rotationsaxeln består av de vektorer som avbildas på sig själva, dvs de som uppfyller \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}.\] Det visar sig vara de vektorer som är parallella med \[\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\] dvs de som har alla tre koordinaterna lika.
8. En ON-bas är en bas av parvis ortogonala enhetsvektorer (alltså längd 1). Det är enklast att börja med att hitta en ortogonal bas, och därefter normera (dividera varje vektor med sin egen längd för att få en enhetsvektor). Först hittar man en (nollskild) vektor som är ortogonal mot $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, dvs summan av koordinaterna ska vara noll. Till exempel kan vi ta $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. För att hitta en tredje vektor som är ortogonal mot båda dessa, kan vi beräkna deras kryssprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Slutligen normerar vi, och får
\[\frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Notera att det finns oändligt många korrekta svar, och att man bland annat kan permutera koordinater (bara man gör det konsekvent) och byta tecken på den ena eller båda vektorerna.
2. En normal till planet är $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, så vi söker en punkt i planet som kan skrivas som $\begin{pmatrix}1\cdot t\\2\cdot t\\2\cdot t\end{pmatrix}$ för något $t$. Ekvationen $1\cdot t+2\cdot 2t+2\cdot 2t = 1$ ger $t=1/9$, så punkten är $\begin{pmatrix}1/9\\2/9\\2/9\end{pmatrix}$. Avståndet från origo till denna punkt är \[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \frac13.\]
Förvånansvärt många har påstått att
\[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{81}} = \frac{\sqrt{5}}9.\]
3. Rotationen beskrivs av matrisen \[\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\] och speglingen av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.\] Rotation följt av spegling beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ -\frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\]
4. Inversen är \[ \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -3 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]
Lösningen till ekvationssystemet ges av första kolumnen i inversen (eftersom högerledet är $(1,0,0)$), dvs $a= 3$, $b=-3$, och $c=1$.
Märkligt nog verkar det vara svårare att lösa ekvationssystemet än att invertera matrisen. Några har inverterat korrekt, och sedan satt igång med Gausselimination på ekvationssystemet utan att notera att det man då gör bara är en upprepning av samma räkningar fast utan andra och tredje kolumnen i högerledet. Ibland har det gått snett med en kolumn trots att det gick bra med tre kolumner på sidan innan.
5. Ekvationssystemet kan skrivas
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix}.\] Förlängning med transponatet ger
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix},\] dvs
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix}.\]
Det här ledde väl till de besvärligaste siffrorna på tentan, men det borde ändå inte vara oöverstigligt för hand. Man ser att matrisen har determinant $14\cdot 6 - 5\cdot 5 = 59$, så $x$ och $y$ måste kunna skrivas med nämnare 59.
Man kan använda Gausselimination, alternativt minnas (och kontrollera!) hur man inverterar en $2\times 2$-matris:
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix},\] så
\[ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix}51 \\ 46\end{pmatrix}.\]
Så den bästa lösningen är $x=\frac{51}{59}$ och $y=\frac{46}{59}$.
6. Egenvärdena är $\sqrt{10}$ och $-\sqrt{10}$. Egenvektorerna kan väljas (och uttryckas) på ett antal ekvivalenta sätt: Egenvektorer som hör till egenvärdet $\sqrt{10}$ är \[\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{10}}3 \\ 1\end{pmatrix},\] eller om man multiplicerar med 3: \[\begin{pmatrix} 1+\sqrt{10} \\ 3\end{pmatrix}.\] En annan vektor som är parallell med dessa är \[\begin{pmatrix} 3\\ \sqrt{10}-1 \end{pmatrix}.\] Och det finns väl ytterligare ett par alternativ. Egenvektorerna som hör till det andra egenvärdet, $-\sqrt{10}$, kan fås genom att genomgående byta tecken på $\sqrt{10}$.
För att beräkna $A^{10}$ hade några genomfört diagonalisering enligt konstens alla regler, och fått \[ A^{10} = \begin{pmatrix} 100,000 & 0\\ 0 & 100,000\end{pmatrix}.\]
Fast uppgiften sållade väl inte riktigt agnarna från vetet, eftersom den som sätter igång genom att först beräkna $A^2$, noterar att \[A^2 = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix},\] och får fram samma svar direkt genom att $A^{10} = (A^2)^5$.
Fast meningen var att (b)-uppgiften skulle ge en verifiering av att man har räknat rätt i (a). Några har fått fel egenvärden i (a), till exempel $\lambda = -3\pm 1$. och sedan tyvärr inte fattat misstanke efter att ha noterat att $A^2$ är en diagonalmatris med $10, 10$ på diagonalen. Matrisen $A^2$ måste ju ha som egenvärden (åtminstone) kvadraterna på egenvärdena till $A$, så ser man att $A^2$ bara har egenvärdet $10$, är $\pm \sqrt{10}$ de enda möjliga egenvärdena till $A$.
7. Här har många trott att matrisen representerar en rotation $90^\circ$. Koordinataxlarna avbildas ju på varandra: $x$-axeln på $z$-axeln, $z$-axeln på $y$-axeln, och $y$-axeln på $x$-axeln. Och det är ju räta vinklar mellan axlarna. Men om rotationen upprepas, är man tillbaka efter tre steg (matrisen upphöjt till 3 blir enhetsmatrisen). Så rotationen måste vara $120^\circ$. Eller $240^\circ$, men det finns inget med- och motsols i rymden.
Rotationsaxeln består av de vektorer som avbildas på sig själva, dvs de som uppfyller \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}.\] Det visar sig vara de vektorer som är parallella med \[\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\] dvs de som har alla tre koordinaterna lika.
8. En ON-bas är en bas av parvis ortogonala enhetsvektorer (alltså längd 1). Det är enklast att börja med att hitta en ortogonal bas, och därefter normera (dividera varje vektor med sin egen längd för att få en enhetsvektor). Först hittar man en (nollskild) vektor som är ortogonal mot $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, dvs summan av koordinaterna ska vara noll. Till exempel kan vi ta $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. För att hitta en tredje vektor som är ortogonal mot båda dessa, kan vi beräkna deras kryssprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Slutligen normerar vi, och får
\[\frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Notera att det finns oändligt många korrekta svar, och att man bland annat kan permutera koordinater (bara man gör det konsekvent) och byta tecken på den ena eller båda vektorerna.
Wednesday, October 28, 2015
Tentan 2015-08-24
1. Båda vektorerna har längd $\sqrt{6}$. Kryssprodukten är $$\begin{pmatrix} \sqrt{3}-1\\ -2+\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\end{pmatrix}$$ Vinkeln mellan $\mathbf{w}$ och $\mathbf{u}$ är rät.
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
Subscribe to:
Posts (Atom)