Man kan hitta några gamla tentor här.
Det finns som synes svar på tentan från 14-10-30. Svar och kommentarer till tentan 15-01-05 finns här, och till tentan 15-08-24 här.
Det finns även kommentarer till tentan 15-10-29, men den ligger inte på gamla kurshemsidan, så jag kopierar in den nedan (borde väl egentligen skapa lite ordning och reda i stället för att ha saker på olika ställen med länkar hit och dit).
Det finns också ett "snabbtest" i en post här från 2014.
Tenta 2015-10-29:
1. Låt $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7\end{pmatrix}$ och
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$.
(a) Vilken av vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är längst?
(b) Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
(c) Finn en nollskild vektor som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
2. Bestäm kortaste avståndet från origo till det plan som ges av ekvationen $x+2y+2z= 1$.
3. Ange matrisen för den avbildning $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ som ges av rotation $45^\circ$ runt origo i positiv riktning följt av spegling i linjen $x+y = 0$.
4. (a) Beräkna inversen till matrisen
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{pmatrix}.\]
(b) Lös ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 1\\
a+2b+3c = 0\\
a+3b+6c = 0
\end{cases}
\]
5. Finn bästa lösningen i minsta kvadrat-mening till det överbestämda ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
x + y = 2\\
2x - y = 1\\
3x + 2y = 4
\end{cases}
\]
6. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]
(a) Bestäm alla egenvärden till $A$, samt tillhörande egenvektorer.
(b) Beräkna $A^{10}$.
7. Matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] beskriver en rotation i $\mathbb{R}^3$. Bestäm rotationsaxeln och vinkeln.
8. Ge ett exempel på en ON-bas i $\mathbb{R}^3$ som innehåller vektorn \[\frac1{\sqrt{3}}\cdot\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\]
Monday, October 17, 2016
Sunday, October 9, 2016
Dugga 4
Här kommer äntligen Hemdugga 4!
Uppgift 2 har ni redan gjort en uppvärmning för, ifall ni har gjort laboration 2. Men jag har formulerat den utan att förutsätta att ni har gjort labben.
Notera också på uppgift 2(d) att det är tillåtet att hänvisa till spektralsatsen!
Om man tittar på telefonen får man förmodligen lite problem med MathJax, som är en plug-in eller vad det heter, och som gör att jag kan skriva matematiska uttryck här på bloggen. Då ser man bara källkoden, och då är det raderna i matriserna som skrivs ut med "\\" för ny rad, och "&" för att skilja elementen i samma rad. Men ni får den på papper på tisdag.
Den ska som sagt lämnas in senast vid början av föreläsningen tisdagen den 18 oktober.
1. Komplettera matrisen
\[\begin{pmatrix}
1/\sqrt{14} & 2/\sqrt{5} & ? \\
2/\sqrt{14} & ? & ? \\
3/\sqrt{14} & 0 & ? \\
\end{pmatrix}
\]
så att den beskriver en isometri! På hur många sätt kan detta göras? Vilka värden kan då determinanten anta?
2. Låt
\[ F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.\]
(a) Titta gärna på videorna av Vi Hart: Doodling in math: Spirals, Fibonacci, and being a plant, del 1-3 (detta behöver inte redovisas).
(b) Beräkna några potenser av $F$, tills ett mönster blir uppenbart.
(c) Vad är $F^{n+2} - F^{n+1} - F^n$? Tips: bryt ut faktorn $F^n$!
(d) Bestäm egenvärden och egenvektorer för matrisen $F$, samt en diagonalisering av $F$.
(e) Ange en explicit formel för
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot F^n \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\] dvs elementet högst upp till vänster i $F^n$.
Tuesday, October 4, 2016
Geogebralabb 2
1. Undersök hur kommandot FitLine kan användas för att anpassa en rät linje till en mängd av punkter enligt minsta-kvadratmetoden.
Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.
(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?
(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?
2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.
3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.
Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.
Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.
4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.
Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!
Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.
(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?
(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?
2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.
3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.
Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.
Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.
4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.
Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!
Tuesday, September 27, 2016
Dugga 3
Dugga 3 lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 7 oktober.
1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.
(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?
Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.
Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.
2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!
3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$
1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.
(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?
Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.
Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.
2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:
| $n$ | $f(n)$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5 | 8 |
| 6 | 8 |
| 7 | 8 |
| 8 | 9 |
| 9 | 11 |
| 10 | 13 |
Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!
3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$
Wednesday, September 21, 2016
Schemaändring!
Påminner om att vi har bytt plats på två tillfällen i linjäralgebra och statistik, och att det därför blir algebra (föreläsning i Pascal) torsdagen den 22 september, och statistik (också i Pascal) fredag den 23.
Monday, September 5, 2016
Ny kursomgång 2016!
Nu har vi kört igång 2016 års kurs!
Vi bestämde att vi börjar 8.15 och kör till 12.00, precis som tidigare år. Föreläsningarna är i Euler på tisdagar och i Pascal på fredagar. Därefter övningar i MVF26.
Vi har pratat om vektorer, addition av vektorer, multiplikation av vektorer med skalär, vinklar, avstånd.
På första föreläsningen pratade vi om skalärprodukt, och i fredags började vi med vektorprodukt (= kryssprodukt).
Något jag inte hann säga på föreläsningen, men som dök upp i övningarna, var att vektorprodukten inte är kommutativ, utan i stället uppfyller regeln \[u\times v = -(v\times u).\]
Kursplanering:
| Tillfälle | Tid och plats | Bokavsnitt | Innehåll |
|---|---|---|---|
| 1 | ti 30/8 Euler | 1.1-1.3 | Översikt. Vektorbegreppet, vinklar, avstånd, Skalärprodukt. |
| 2 | fr 2/9 Pascal | 1.4-1.5 | Vektorprodukt (kryssprodukt). Linjärkombination, span, ortogonalitet, projektion, koordinatsystem. |
| 3 | ti 6/9 Euler | 1.6 | Mer om kryssprodukt. ON-baser. Räta linjer och plan på ekvations- och parameterform. Spegling. |
| 4 | fr 9/9 Pascal | 1.1-1.6 | Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt. |
| 5 | ti 13/9 Euler | 2.1-2.3 | Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser. |
| 6 | fr 16/9 Pascal | 3.1-3.4 | Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen. |
| 7 | ti 20/9 Euler (+datorlabb 13-15!) | 3.5-3.7 | Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar. |
| 8 | to 22/9 Pascal (Lunchmöte med studentrepresentanter fredag den 23) | 4.1-4.3 | Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen. |
| 9 | ti 27/9 Euler | 5.1-5.3 | Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination. |
| 10 | fr 30/9 Pascal | 5.4-5.6 | Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden. |
| 11 | ti 4/10 Euler (+datorlabb 13-15!) | 6.1-6.3 | Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning. |
| 12 | fr 7/10 Pascal | 7.1-7.4 | Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar. |
| 13 | ti 11/10 Euler | 8.1-8.4 | Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering. |
| 14 | fr 14/10 Pascal | 9.1-9.4 | Grafer, slumpvandring, Markovkedjor. |
| 15 | ti 18/10 Euler | 1.1-9.4 | Hemuppgift 4 in. Repetition. |
| 16 | må 24/10 Euler | 1.1-9.4 | Repetition. |
| Tenta! | to 27/10 kl. 8.30-12.30 | Hela boken! | Tenta! |
Wednesday, November 25, 2015
Tentaresultat
Tentan är rättad sedan ett tag tillbaka, men pappersarbetet har tagit onödigt lång tid. Om ni kommer ihåg ert nummer och vill veta resultatet nu direkt, så har ni det här nedanför.
Bra resultat överlag kan man väl säga. Var tentan för lätt? Nja, jag tycker inte det. Jag tycker det var en tenta som kollar att man kan det man ska kunna.
L9MA30:
Nummer poäng betyg
821 14 U
1458 34 VG
1808 24 G
1935 26 G
LGMA30:
Nummer poäng betyg
314 32 VG
334 21 G
403 36 VG
478 38 VG
517 30 VG
527 29 G
533 32 VG
555 7 U
572 30 VG
604 30 VG
611 26 G
617 17 U
622 31 VG
629 31 VG
649 23 G
656 30 VG
659 26 G
701 42 VG
738 39 VG
757 23 G
767 33 VG
784 31 VG
858 44 VG
940 37 VG
1055 30 VG
1197 42 VG
1198 2 U
1199 25 G
1204 21 G
1485 34 VG
1499 30 VG
1510 43 VG
1519 22 G
1953 40 VG
1970 32 VG
Bra resultat överlag kan man väl säga. Var tentan för lätt? Nja, jag tycker inte det. Jag tycker det var en tenta som kollar att man kan det man ska kunna.
L9MA30:
Nummer poäng betyg
821 14 U
1458 34 VG
1808 24 G
1935 26 G
LGMA30:
Nummer poäng betyg
314 32 VG
334 21 G
403 36 VG
478 38 VG
517 30 VG
527 29 G
533 32 VG
555 7 U
572 30 VG
604 30 VG
611 26 G
617 17 U
622 31 VG
629 31 VG
649 23 G
656 30 VG
659 26 G
701 42 VG
738 39 VG
757 23 G
767 33 VG
784 31 VG
858 44 VG
940 37 VG
1055 30 VG
1197 42 VG
1198 2 U
1199 25 G
1204 21 G
1485 34 VG
1499 30 VG
1510 43 VG
1519 22 G
1953 40 VG
1970 32 VG
Subscribe to:
Posts (Atom)