Datorlabb, Geogebra

Syftet med laborationen är att lära känna programmet Geogebra, och experimentera med dess funktioner för linjär algebra.

1.
Bekanta dig med programmet Geogebra. Se hur man kan skapa objekt som punkter, räta linjer, och polygoner, hur dessa representeras både grafiskt och algebraiskt, samt hur man kan editera dem grafiskt genom att dra i punkter.

2.
Låt Geogebra beräkna vinkeln som ges av de tre punkterna $(0,1)$, $(2,0)$, och $(2,2)$. Programmet ger svaret numeriskt. Kontrollera att det stämmer. Vad händer om man tar punkterna i motsatt ordning?

3.
Skapa två vektorer i tre dimensioner och beräkna deras skalär- och vektorprodukter med hjälp av kommandona Cross och Dot. Experimentera med 3D-grafiken och se vad som händer om vektorerna är parallella respektive ortogonala.

4.
Rita enhetskvadraten. Skapa en $2\times 2$-matris $M$, till exempel $$\begin{pmatrix}  4 & 2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ och använd kommandot ApplyMatrix för att se hur matrisen $M$ verkar på enhetskvadraten.

Experimentera med andra matriser och andra figurer (gärna osymmetriska).

Beräkna determinanten för matrisen, och se vad som händer när man "applicerar" en matris vars determinant är positiv/negativ/noll. Beräkna arean av en figur, och arean av bilden.

Kan motsvarande göras i tre dimensioner?

5.
Använd kommandot Inverse för att beräkna inversen till en matris. Undersök vad som händer om man startar med en figur, applicerar matrisen $M$, och därefter applicerar inverse(M) på resultatet.

Dugga 2

Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 25 september.

1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1  \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.

Vilka av de nio tänkbara produkterna  $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!

2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]


3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3  & 1 \\ 1  & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?


4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.

Dugga 1

Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 11 september.

1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
 och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]

2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
 (b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
 \[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]

3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?

4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!

Kursstart!

Då var det dags för linjär algebra igen, och jag kommer att fortsätta att använda den här bloggen. Förhoppningsvis kan det vara nyttigt för alla inblandade att kunna se lite vad som hände i fjol.

Kursboken blir, precis som förra året, Linjär algebra från en geometrisk utgångspunktoch är skriven av min chalmerskollega Stefan Lemurell. Den ska finnas på bokhandeln i kårhuset.

Jag skrev lite om boken i den allra första bloggposten.

Vi kommer att börja tillfällena med "föreläsning" klockan 8-10 i Euler (tisdagar) eller Pascal (fredagar), och fortsätta med "övning" i sal MVF26 klockan 10-12. Se även  schemat. Vi kommer att köra igenom i princip hela boken, med avsnitten i ordningsföljd, enkelt och bra!

Det kommer dessutom att bli två datorlabbar, den 22 september och 6 oktober. Mer info om dem kommer senare!

   

Tillfälle	Tid och plats	Bokavsnitt	Innehåll
1	ti 1/9 Euler	1.1-1.3	Översikt. Vektorbegreppet, linjärkombination, span. Skalärprodukt, ortogonalitet, projektion, spegling.
2	fr 4/9 Pascal	1.4-1.5	Vektorprodukt (kryssprodukt). Koordinatsystem, bas, ON-bas, avstånd.
3	ti 8/9 Euler	1.6	Räta linjer och plan, ekvations- och parameterform.
4	fr 11/9 Pascal	1.1-1.6	Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt.
5	ti 15/9 Euler	2.1-2.3	Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser.
6	fr 18/9 Pascal	3.1-3.4	Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen.
7	ti 22/9 Euler (+datorlabb!)	3.5-3.7	Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar.
8	fr 25/9 Pascal	4.1-4.3	Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen.
9	ti 29/10 Euler	5.1-5.3	Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination.
10	fr 2/10 Pascal	5.4-5.6	Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden.
11	ti 6/10 Euler (+datorlabb!)	6.1-6.3	Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning.
12	fr 9/10 Pascal	7.1-7.4	Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar.
13	ti 13/10 Euler	8.1-8.4	Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering.
14	fr 16/10 Pascal	9.1-9.4	Grafer, slumpvandring, Markovkedjor.
15	ti 20/10 Euler	1.1-9.4	Hemuppgift 4 in. Repetition.
16	må 26/10 MVF26	1.1-9.4	Repetition.
Tenta!	to 29/10 kl. 8.30-12.15	Hela boken!	Tenta!

Något om examinationen: Som synes är det tänkt att det aka bli fyra hemduggor. Kanske två-tre kunde ha räckt, men jag tror det är bättre att ha ett större antal, och att var och en av dem inte behöver vara så skräckinjagande. Hemduggorna kommer att, om de görs ordentligt, kunna ge bonuspoäng på tentan, men detta förutsätter, utan pardon, att de lämnas in senast vid starten av respektive föreläsning, för sedan är det är meningen att vi ska kunna diskutera dem. Men det är som sagt fyra stycken, så missar man en är det inte hela världen. 

På tentan kommer man att få ha med sig en egenhändigt skriven "formelsamling" på ett A4-ark. Däremot kommer inga tekniska hjälpmedel att tillåtas! I fjol sa jag att man skulle få ha med sig miniräknare, vilket bara ledde till onödiga diskussioner om exakt vilka räknare som skulle vara tillåtna.

Inför tentan

På tentan får man ha med sig ett A4-ark, handskrivet på båda sidor. Man får också ha med sig miniräknare, förutsatt att den inte kan göra matrisoperationer!

Det här med att man får ha med sig miniräknare ångrar jag lite, det visade sig bli krångligt att bestämma vilka miniräknare som är ok och vilka som inte är det. Det blir inte rättvist om någon har en miniräknare som kan kolla med förprogrammerade funktioner om till exempel en matrisinvers är korrekt.

Men nu har jag sagt att man får ha med sig miniräknare, och då får jag stå för det. Dock vill jag säga att den som bara har en värsting lugnt kan gå till tentan utan miniräknare. Det räcker att kunna multiplikationstabellen, värre uträkningar blir det inte.

Snabbtest

Det här är tänkt att vara ett lite lättsammare sätt att få koll på kursen och eventuellt få bort några missförstånd. Inga tunga uträkningar som i hemuppgifterna, utan snabba frågor och snabba svar.

1. I tre dimensioner, skriv upp ekvationen för $xy$-planet!
2. Hur lång är vektorn $(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$ i $\mathbb{R}^{10}$?  
3. Flervalsfråga: Triangeln med hörn i punkterna $(0,1,3)$, $(-1,2,-1)$ och $(3,1,1)$ har area (a) $7\sqrt{6} + 6\sqrt{28} + \sqrt{42}$, (b) $84^{1/3}/2$ eller (c) $\sqrt{209}/2$?
4. Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt på en kryssprodukt av två vektorer?
5. Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt på en skalärprodukt av två vektorer?
6. Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt när man har inverterat en matris?
7. Sant eller falskt: Man kan ta två A4-papper, göra ett hål med en nål mitt i det ena, och hänga det andra i hålet.
8. Sant eller falskt: Om vi hade fyra rumsdimensioner, skulle man kunna ta två A4-papper, göra ett hål med en nål mitt i det ena, och hänga det andra i hålet.
9. Flervalsfråga: Inversen till matrisen \[\pmatrix{3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\\ 0 & 3 & 1}\] är (a) \[\frac1{7}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8},\] (b) \[\frac1{17}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8}\] eller (c) \[\frac1{31}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8}.\]
10. Sant eller falskt: ett ekvationssystem med fler variabler än ekvationer går alltid att lösa.
11. Om jag kastar en tärning 100 gånger och fyller i utfallen (siffrorna 1 till 6) i en $10\times 10$-matris, vad är då mest troligt, att den blir inverterbar eller att den inte blir det?
12. Låt avbildningen $h$ vara spegling i planet $2x-y+2z= 0$. Vilka är egenvärdena till $h$?
13. Sant eller falskt: En (reell) $5\times 5$-matris har alltid ett (reellt) egenvärde.
14. Sant eller falskt: En (reell) $6\times 6$-matris har alltid ett (reellt) egenvärde.
15. Skriv upp en $3\times 3$-matris med egenvärden 3, 5 och 7.
16. Sant eller falskt: Om ett tal (säg 17) är en rot till den karakteristiska kvationen, finns det alltid en (nollskild) egenvektor med egenvärde 17.
17. Sant eller falskt: Om ett tal (säg 17) är en dubbelrot till den karakteristiska ekvationen, så finns det alltid två oberoende egenvektorer med egenvärde 17.

Svar:

1. Ekvationen är $z=0$. Det här verkar en del ha missat på senaste duggan. $z$-axeln är där $z$ är vad det vill och de andra är noll. I $xy$-planet är $x$ och $y$ vad som helst och $z$ är noll!
2. Den har längd $\sqrt{10}$. 
3. Det enda som kan vara rätt är (c), $\sqrt{209}/2$. Flytta triangeln så att ett hörn hamnar i origo, till exempel subtrahera $(0,1,3)$ så att vi får $(0,0,0)$, $(-1,1,-4)$ och $(3,0,-2)$. Triangelns area är då halva längden av kryssprodukten \[\pmatrix{-1\\1\\-4} \times \pmatrix{3\\0\\-2}.\] Utan att räkna kan vi se att längden av kryssprodukten är kvadratroten ur ett heltal, så varken (a) eller (b) kan vara rätt.
4. Kolla att svaret har skalärprodukt noll med var och en av faktorerna.
5. Räkna om!
6. Kolla att matrisen gånger inversen blir enhetsmatrisen.    
7. Öh, falskt!?
8. Sant. Typ. Två plan i $\mathbb{R}^4$ kan skära varandra i en punkt.
9. Bara (b) kan vara rätt. Vi kan se med Sarrus regel att determinanten är $9+9-1=17$. Inversen måste då ha element som är heltal dividerat med 17, så varken (a) eller (c) kan vara rätt.
10. Falskt. Systemet $x_1+x_2+x_3=0$ och $x_1+x_2+x_3=1$ till exempel går ju inte att lösa.
11. Den blir nästan säkert inverterbar. Det är bara om determinanten blir 0 som den inte går att invertera (men jag vet inte vad sannolikheten är, testa med Maple?).
12. 1 (dubbelrot), och $-1$. Det spelar ingen roll vad planet är, en spegling fixerar ett plan (dvs det får egenvärde 1) och vektorerna som är ortogonala mot planet får egenvärde $-1$.
13. Sant. Det karakteristiska polynomet har ledande koefficient (dvs term av högst grad) $-\lambda^5$. Eftersom 5 är udda går det mot $+\infty$ när $\lambda\to-\infty$, och mot $-\infty$ när $\lambda\to+\infty$. Någonstans måste det bli noll på vägen.
14. Falskt. Förra argumentet funkar inte eftersom 6 är jämnt, och här är ett motexempel: \[\pmatrix{0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0}.\] Det karakteristiska polynomet blir $(\lambda^2+1)^3$, vilket inte har några reella nollställen. Den här avbildningen kan ses som att man roterar $90^\circ$ i $x_1x_2$-planet, och samtidigt i $x_3x_4$-planet och $x_5x_6$-planet.
15. Enklaste lösningen är \[\pmatrix{3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7}.\]
16. Sant. Subtraherar man 17 från diagonalen och Gaussar, blir det (minst) en nollrad och en fri kolumn. Så då finns det en nollskild lösning till ekvationen som säger att $x$ är en egenvektor med egenvärde 17.
17. Falskt. Det här var Pontus fråga som vi inte hann med svaret på. Motexempel: \[\pmatrix{17 & 1\\ 0 & 17}.\]

Om hemdugga 4

På uppgift 1(b) är det karakteristiska ekvationen till $R$ vi pratar om!
Som några av er har noterat, blir det även två icke-reella egenvärden. Det är ingen tillfällighet att de ligger på enhetscirkeln i det komplexa talplanet. Isometrier bevarar längd, och det gäller även för komplexa vektorer (även om det här med längd av komplexa vektorer ligger utanför den här kursen). 

På 1(c), tänk på att rotationsaxeln består av de vektorer som inte flyttas av rotationen. Med andra ord de vektorer som har egenvärde 1.

På uppgift 2 finns, enligt spektralsatsen, inte bara en bas av egenvektorer, utan till och med en ortogonal bas av egenvektorer. För att diagonalisera övergångsmatrisen behöver man dock inte ha en ortogonal bas, utan det duger med vilken bas som helst av egenvektorer. Ofta har man inget val, men just här råkar ett av egenvärdena ha ett helt plan av egenvektorer och inte bara en linje.