1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.
(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?
Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.
Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.
2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:
| $n$ | $f(n)$ |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 3 |
| 2 | 4 |
| 3 | 4 |
| 4 | 6 |
| 5 | 8 |
| 6 | 8 |
| 7 | 8 |
| 8 | 9 |
| 9 | 11 |
| 10 | 13 |
Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!
3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$
