Dugga 3

Dugga 3 lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 7 oktober.  

1. Låt $$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}$$
och
$$B =  \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}.$$
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.

(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?

Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.

Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.


2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:

$n$	$f(n)$
0	1
1	3
2	4
3	4
4	6
5	8
6	8
7	8
8	9
9	11
10	13

Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).

Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!


3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix} 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\ \end{pmatrix}$$