Geogebralabb 2

1. Undersök hur kommandot FitLine kan användas för att anpassa en rät linje till en mängd av punkter enligt minsta-kvadratmetoden.

Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.

(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?

(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?


2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.


3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen $$A =  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.$$
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.

Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.

Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.

4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
$$B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.$$
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.

Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!