Gamla tentor mm

Man kan hitta några gamla tentor här.

Det finns som synes svar på tentan från 14-10-30. Svar och kommentarer till tentan 15-01-05 finns här, och till tentan 15-08-24 här.

Det finns även kommentarer till tentan 15-10-29, men den ligger inte på gamla kurshemsidan, så jag kopierar in den nedan (borde väl egentligen skapa lite ordning och reda i stället för att ha saker på olika ställen med länkar hit och dit).

Det finns också ett "snabbtest" i en post här från 2014.

Tenta 2015-10-29:

1. Låt $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7\end{pmatrix}$ och
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$.
 (a) Vilken av vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är längst?
 (b) Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
 (c) Finn en nollskild vektor som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.

2. Bestäm kortaste avståndet från origo till det plan som ges av ekvationen $x+2y+2z= 1$.

3. Ange matrisen för den avbildning $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ som ges av rotation $45^\circ$ runt origo i positiv riktning följt av spegling i linjen $x+y = 0$.

4. (a) Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{pmatrix}.$$
(b) Lös ekvationssystemet
$$\begin{cases} a+b+c = 1\\ a+2b+3c = 0\\ a+3b+6c = 0 \end{cases}$$

5. Finn bästa lösningen i minsta kvadrat-mening till det överbestämda ekvationssystemet
$$\begin{cases} x + y  = 2\\ 2x - y = 1\\ 3x + 2y = 4 \end{cases}$$

6. Låt   $$A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.$$
(a) Bestäm alla egenvärden till $A$, samt tillhörande egenvektorer.
(b) Beräkna $A^{10}$.

7. Matrisen $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ beskriver en rotation i $\mathbb{R}^3$. Bestäm rotationsaxeln och vinkeln.

8. Ge ett exempel på en ON-bas i $\mathbb{R}^3$ som innehåller vektorn $$\frac1{\sqrt{3}}\cdot\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.$$