Dugga 4

Här kommer äntligen Hemdugga 4!

Uppgift 2 har ni redan gjort en uppvärmning för, ifall ni har gjort laboration 2. Men jag har formulerat den utan att förutsätta att ni har gjort labben.

Notera också på uppgift 2(d) att det är tillåtet att hänvisa till spektralsatsen!

Om man tittar på telefonen får man förmodligen lite problem med MathJax, som är en plug-in eller vad det heter, och som gör att jag kan skriva matematiska uttryck här på bloggen. Då ser man bara källkoden, och då är det raderna i matriserna som skrivs ut med "\\" för ny rad, och "&" för att skilja elementen i samma rad. Men ni får den på papper på tisdag.

Den ska som sagt lämnas in senast vid början av föreläsningen tisdagen den 18 oktober.

1. Komplettera matrisen

$$\begin{pmatrix} 1/\sqrt{14}  & 2/\sqrt{5}  & ? \\ 2/\sqrt{14} & ? & ? \\ 3/\sqrt{14}  & 0 & ? \\ \end{pmatrix}$$
så att den beskriver en isometri! På hur många sätt kan detta göras? Vilka värden kan då determinanten anta?

2. Låt 

$$F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.$$

(a) Titta gärna på videorna av Vi Hart: Doodling in math: Spirals, Fibonacci, and being a plant, del 1-3 (detta behöver inte redovisas).

(b) Beräkna några potenser av $F$, tills ett mönster blir uppenbart.

(c) Vad är $F^{n+2} - F^{n+1} - F^n$? Tips: bryt ut faktorn $F^n$!

(d) Bestäm egenvärden och egenvektorer för matrisen $F$, samt en diagonalisering av $F$. 

(e) Ange en explicit formel för  

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot F^n \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},$$ dvs elementet högst upp till vänster i $F^n$.