Dugga 1

Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 11 september.

1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
$$\begin{cases} a+b+c = 2\\ a+2b+3c = 5 \\ a-b+c = 6\\ \end{cases}$$
 och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
$$\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.$$

2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen $$x-2y+z = 0.$$
 (b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
  $$\begin{cases} x = t\\ y=2t\\ z = 3t. \end{cases}$$

3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?

4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!