Dugga 2

Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 25 september.

1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1  \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.

Vilka av de nio tänkbara produkterna  $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!

2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]


3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3  & 1 \\ 1  & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?


4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.