1. Vektorerna har längd $\sqrt{66}$ respektive $\sqrt{65}$, så $\mathbf{u}$ är längst. Deras skalärprodukt är 0, och de är således ortogonala. Ett exempel på en vektor som är ortogonal mot båda är kryssprodukten \[\begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6\\ -5 \\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43\\ 40 \\ -29\end{pmatrix}\]
2. En normal till planet är $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, så vi söker en punkt i planet som kan skrivas som $\begin{pmatrix}1\cdot t\\2\cdot t\\2\cdot t\end{pmatrix}$ för något $t$. Ekvationen $1\cdot t+2\cdot 2t+2\cdot 2t = 1$ ger $t=1/9$, så punkten är $\begin{pmatrix}1/9\\2/9\\2/9\end{pmatrix}$. Avståndet från origo till denna punkt är \[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \frac13.\]
Förvånansvärt många har påstått att
\[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{81}} = \frac{\sqrt{5}}9.\]
3. Rotationen beskrivs av matrisen \[\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\] och speglingen av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.\] Rotation följt av spegling beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ -\frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\]
4. Inversen är \[ \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -3 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]
Lösningen till ekvationssystemet ges av första kolumnen i inversen (eftersom högerledet är $(1,0,0)$), dvs $a= 3$, $b=-3$, och $c=1$.
Märkligt nog verkar det vara svårare att lösa ekvationssystemet än att invertera matrisen. Några har inverterat korrekt, och sedan satt igång med Gausselimination på ekvationssystemet utan att notera att det man då gör bara är en upprepning av samma räkningar fast utan andra och tredje kolumnen i högerledet. Ibland har det gått snett med en kolumn trots att det gick bra med tre kolumner på sidan innan.
5. Ekvationssystemet kan skrivas
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix}.\] Förlängning med transponatet ger
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix},\] dvs
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix}.\]
Det här ledde väl till de besvärligaste siffrorna på tentan, men det borde ändå inte vara oöverstigligt för hand. Man ser att matrisen har determinant $14\cdot 6 - 5\cdot 5 = 59$, så $x$ och $y$ måste kunna skrivas med nämnare 59.
Man kan använda Gausselimination, alternativt minnas (och kontrollera!) hur man inverterar en $2\times 2$-matris:
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix},\] så
\[ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix}51 \\ 46\end{pmatrix}.\]
Så den bästa lösningen är $x=\frac{51}{59}$ och $y=\frac{46}{59}$.
6. Egenvärdena är $\sqrt{10}$ och $-\sqrt{10}$. Egenvektorerna kan väljas (och uttryckas) på ett antal ekvivalenta sätt: Egenvektorer som hör till egenvärdet $\sqrt{10}$ är \[\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{10}}3 \\ 1\end{pmatrix},\] eller om man multiplicerar med 3: \[\begin{pmatrix} 1+\sqrt{10} \\ 3\end{pmatrix}.\] En annan vektor som är parallell med dessa är \[\begin{pmatrix} 3\\ \sqrt{10}-1 \end{pmatrix}.\] Och det finns väl ytterligare ett par alternativ. Egenvektorerna som hör till det andra egenvärdet, $-\sqrt{10}$, kan fås genom att genomgående byta tecken på $\sqrt{10}$.
För att beräkna $A^{10}$ hade några genomfört diagonalisering enligt konstens alla regler, och fått \[ A^{10} = \begin{pmatrix} 100,000 & 0\\ 0 & 100,000\end{pmatrix}.\]
Fast uppgiften sållade väl inte riktigt agnarna från vetet, eftersom den som sätter igång genom att först beräkna $A^2$, noterar att \[A^2 = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix},\] och får fram samma svar direkt genom att $A^{10} = (A^2)^5$.
Fast meningen var att (b)-uppgiften skulle ge en verifiering av att man har räknat rätt i (a). Några har fått fel egenvärden i (a), till exempel $\lambda = -3\pm 1$. och sedan tyvärr inte fattat misstanke efter att ha noterat att $A^2$ är en diagonalmatris med $10, 10$ på diagonalen. Matrisen $A^2$ måste ju ha som egenvärden (åtminstone) kvadraterna på egenvärdena till $A$, så ser man att $A^2$ bara har egenvärdet $10$, är $\pm \sqrt{10}$ de enda möjliga egenvärdena till $A$.
7. Här har många trott att matrisen representerar en rotation $90^\circ$. Koordinataxlarna avbildas ju på varandra: $x$-axeln på $z$-axeln, $z$-axeln på $y$-axeln, och $y$-axeln på $x$-axeln. Och det är ju räta vinklar mellan axlarna. Men om rotationen upprepas, är man tillbaka efter tre steg (matrisen upphöjt till 3 blir enhetsmatrisen). Så rotationen måste vara $120^\circ$. Eller $240^\circ$, men det finns inget med- och motsols i rymden.
Rotationsaxeln består av de vektorer som avbildas på sig själva, dvs de som uppfyller \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}.\] Det visar sig vara de vektorer som är parallella med \[\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\] dvs de som har alla tre koordinaterna lika.
8. En ON-bas är en bas av parvis ortogonala enhetsvektorer (alltså längd 1). Det är enklast att börja med att hitta en ortogonal bas, och därefter normera (dividera varje vektor med sin egen längd för att få en enhetsvektor). Först hittar man en (nollskild) vektor som är ortogonal mot $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, dvs summan av koordinaterna ska vara noll. Till exempel kan vi ta $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. För att hitta en tredje vektor som är ortogonal mot båda dessa, kan vi beräkna deras kryssprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Slutligen normerar vi, och får
\[\frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Notera att det finns oändligt många korrekta svar, och att man bland annat kan permutera koordinater (bara man gör det konsekvent) och byta tecken på den ena eller båda vektorerna.
Friday, October 30, 2015
Wednesday, October 28, 2015
Tentan 2015-08-24
1. Båda vektorerna har längd $\sqrt{6}$. Kryssprodukten är $$\begin{pmatrix} \sqrt{3}-1\\ -2+\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\end{pmatrix}$$ Vinkeln mellan $\mathbf{w}$ och $\mathbf{u}$ är rät.
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
Tuesday, October 27, 2015
Tentan 2015-01-05
1. Vektorerna har längd 3 respektive $\sqrt{6}$. Deras kryssprodukt är $\begin{pmatrix} \sqrt{3}-2\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\\ -1\end{pmatrix} $. Kontrollera att svaret är ortogonalt mot både $u$ och $v$!
2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.
3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3} \end{pmatrix}.\]
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!
8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.
2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.
3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3} \end{pmatrix}.\]
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!
8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.
Extra övning
Morgondagens (alltså onsdag 28/10) extra övningstillfälle blir i sal MVF26 klockan 10-12. Det blir allmän frågestund, med visst fokus på linjär algebra!
Monday, October 19, 2015
Tuesday, October 6, 2015
Dugga 3
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 9 oktober.
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
| $n$ | $\sigma(n)$ |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 7 |
| 5 | 6 |
| 6 | 12 |
| 7 | 8 |
| 8 | 15 |
| 9 | 13 |
| 10 | 18 |
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
Subscribe to:
Posts (Atom)