Tentan 2015-01-05

1. Vektorerna har längd 3 respektive $\sqrt{6}$. Deras kryssprodukt är $\begin{pmatrix} \sqrt{3}-2\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\\ -1\end{pmatrix}$. Kontrollera att svaret är ortogonalt mot både $u$ och $v$!

2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.

3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$,  $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och  $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.

4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.

5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.

6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är  $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är  $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.

Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5  \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2  \end{pmatrix}$.

Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
$$\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2  \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5  \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3}  \end{pmatrix}.$$

7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!

8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.