Dugga 3

Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 9 oktober.

1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}$$
  $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}$$
  $$\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}$$
  $$\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}$$

Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.

2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$\begin{pmatrix} 1  \end{pmatrix}$$
  $$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0  \end{pmatrix}$$
  $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
  $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
...
 
 dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.

3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:

$n$	$\sigma(n)$
1	1
2	3
3	4
4	7
5	6
6	12
7	8
8	15
9	13
10	18

Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).

Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.

4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix} -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\ \end{pmatrix}$$