Tentan 2015-08-24

1. Båda vektorerna har längd $\sqrt{6}$. Kryssprodukten är $$\begin{pmatrix} \sqrt{3}-1\\ -2+\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\end{pmatrix}$$ Vinkeln mellan $\mathbf{w}$ och $\mathbf{u}$ är rät.

2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.

3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.

4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.

 5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$

6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$

7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!

8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!