Man kan hitta några gamla tentor här.
Det finns som synes svar på tentan från 14-10-30. Svar och kommentarer till tentan 15-01-05 finns här, och till tentan 15-08-24 här.
Det finns även kommentarer till tentan 15-10-29, men den ligger inte på gamla kurshemsidan, så jag kopierar in den nedan (borde väl egentligen skapa lite ordning och reda i stället för att ha saker på olika ställen med länkar hit och dit).
Det finns också ett "snabbtest" i en post här från 2014.
Tenta 2015-10-29:
1. Låt $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7\end{pmatrix}$ och
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$.
(a) Vilken av vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är längst?
(b) Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
(c) Finn en nollskild vektor som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
2. Bestäm kortaste avståndet från origo till det plan som ges av ekvationen $x+2y+2z= 1$.
3. Ange matrisen för den avbildning $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ som ges av rotation $45^\circ$ runt origo i positiv riktning följt av spegling i linjen $x+y = 0$.
4. (a) Beräkna inversen till matrisen
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{pmatrix}.\]
(b) Lös ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 1\\
a+2b+3c = 0\\
a+3b+6c = 0
\end{cases}
\]
5. Finn bästa lösningen i minsta kvadrat-mening till det överbestämda ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
x + y = 2\\
2x - y = 1\\
3x + 2y = 4
\end{cases}
\]
6. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]
(a) Bestäm alla egenvärden till $A$, samt tillhörande egenvektorer.
(b) Beräkna $A^{10}$.
7. Matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] beskriver en rotation i $\mathbb{R}^3$. Bestäm rotationsaxeln och vinkeln.
8. Ge ett exempel på en ON-bas i $\mathbb{R}^3$ som innehåller vektorn \[\frac1{\sqrt{3}}\cdot\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\]
Monday, October 17, 2016
Sunday, October 9, 2016
Dugga 4
Här kommer äntligen Hemdugga 4!
Uppgift 2 har ni redan gjort en uppvärmning för, ifall ni har gjort laboration 2. Men jag har formulerat den utan att förutsätta att ni har gjort labben.
Notera också på uppgift 2(d) att det är tillåtet att hänvisa till spektralsatsen!
Om man tittar på telefonen får man förmodligen lite problem med MathJax, som är en plug-in eller vad det heter, och som gör att jag kan skriva matematiska uttryck här på bloggen. Då ser man bara källkoden, och då är det raderna i matriserna som skrivs ut med "\\" för ny rad, och "&" för att skilja elementen i samma rad. Men ni får den på papper på tisdag.
Den ska som sagt lämnas in senast vid början av föreläsningen tisdagen den 18 oktober.
1. Komplettera matrisen
\[\begin{pmatrix}
1/\sqrt{14} & 2/\sqrt{5} & ? \\
2/\sqrt{14} & ? & ? \\
3/\sqrt{14} & 0 & ? \\
\end{pmatrix}
\]
så att den beskriver en isometri! På hur många sätt kan detta göras? Vilka värden kan då determinanten anta?
2. Låt
\[ F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.\]
(a) Titta gärna på videorna av Vi Hart: Doodling in math: Spirals, Fibonacci, and being a plant, del 1-3 (detta behöver inte redovisas).
(b) Beräkna några potenser av $F$, tills ett mönster blir uppenbart.
(c) Vad är $F^{n+2} - F^{n+1} - F^n$? Tips: bryt ut faktorn $F^n$!
(d) Bestäm egenvärden och egenvektorer för matrisen $F$, samt en diagonalisering av $F$.
(e) Ange en explicit formel för
\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot F^n \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\] dvs elementet högst upp till vänster i $F^n$.
Tuesday, October 4, 2016
Geogebralabb 2
1. Undersök hur kommandot FitLine kan användas för att anpassa en rät linje till en mängd av punkter enligt minsta-kvadratmetoden.
Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.
(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?
(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?
2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.
3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.
Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.
Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.
4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.
Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!
Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.
(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?
(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?
2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.
3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.
Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.
Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.
4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.
Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!
Subscribe to:
Posts (Atom)