Gamla tentor mm

Man kan hitta några gamla tentor här.

Det finns som synes svar på tentan från 14-10-30. Svar och kommentarer till tentan 15-01-05 finns här, och till tentan 15-08-24 här.

Det finns även kommentarer till tentan 15-10-29, men den ligger inte på gamla kurshemsidan, så jag kopierar in den nedan (borde väl egentligen skapa lite ordning och reda i stället för att ha saker på olika ställen med länkar hit och dit).

Det finns också ett "snabbtest" i en post här från 2014.

Tenta 2015-10-29:

1. Låt $\mathbf{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7\end{pmatrix}$ och
$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} 6 \\ -5 \\ 2 \end{pmatrix}$.
 (a) Vilken av vektorerna $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ är längst?
 (b) Beräkna vinkeln mellan $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
 (c) Finn en nollskild vektor som är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.

2. Bestäm kortaste avståndet från origo till det plan som ges av ekvationen $x+2y+2z= 1$.

3. Ange matrisen för den avbildning $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ som ges av rotation $45^\circ$ runt origo i positiv riktning följt av spegling i linjen $x+y = 0$.

4. (a) Beräkna inversen till matrisen
\[\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\
1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 6\end{pmatrix}.\]
(b) Lös ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 1\\
a+2b+3c = 0\\
a+3b+6c = 0
\end{cases}
\]

5. Finn bästa lösningen i minsta kvadrat-mening till det överbestämda ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
x + y  = 2\\
2x - y = 1\\
3x + 2y = 4
\end{cases}
\]

6. Låt  \[A = \begin{pmatrix} 1& 3 \\ 3 & -1\end{pmatrix}.\]
(a) Bestäm alla egenvärden till $A$, samt tillhörande egenvektorer.
(b) Beräkna $A^{10}$.

7. Matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\] beskriver en rotation i $\mathbb{R}^3$. Bestäm rotationsaxeln och vinkeln.

8. Ge ett exempel på en ON-bas i $\mathbb{R}^3$ som innehåller vektorn \[\frac1{\sqrt{3}}\cdot\begin{pmatrix}1 \\1 \\1 \end{pmatrix}.\]

Dugga 4

Här kommer äntligen Hemdugga 4!

Uppgift 2 har ni redan gjort en uppvärmning för, ifall ni har gjort laboration 2. Men jag har formulerat den utan att förutsätta att ni har gjort labben.

Notera också på uppgift 2(d) att det är tillåtet att hänvisa till spektralsatsen!

Om man tittar på telefonen får man förmodligen lite problem med MathJax, som är en plug-in eller vad det heter, och som gör att jag kan skriva matematiska uttryck här på bloggen. Då ser man bara källkoden, och då är det raderna i matriserna som skrivs ut med "\\" för ny rad, och "&" för att skilja elementen i samma rad. Men ni får den på papper på tisdag.

Den ska som sagt lämnas in senast vid början av föreläsningen tisdagen den 18 oktober.

1. Komplettera matrisen

\[\begin{pmatrix}
1/\sqrt{14}  & 2/\sqrt{5}  & ? \\
2/\sqrt{14} & ? & ? \\
3/\sqrt{14}  & 0 & ? \\
\end{pmatrix}
\]
så att den beskriver en isometri! På hur många sätt kan detta göras? Vilka värden kan då determinanten anta?

2. Låt 

\[ F = \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}.\]

(a) Titta gärna på videorna av Vi Hart: Doodling in math: Spirals, Fibonacci, and being a plant, del 1-3 (detta behöver inte redovisas).

(b) Beräkna några potenser av $F$, tills ett mönster blir uppenbart.

(c) Vad är $F^{n+2} - F^{n+1} - F^n$? Tips: bryt ut faktorn $F^n$!

(d) Bestäm egenvärden och egenvektorer för matrisen $F$, samt en diagonalisering av $F$. 

(e) Ange en explicit formel för  

\[\begin{pmatrix} 1 & 0 \end{pmatrix} \cdot F^n \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 0 \end{pmatrix},\] dvs elementet högst upp till vänster i $F^n$.

Geogebralabb 2

1. Undersök hur kommandot FitLine kan användas för att anpassa en rät linje till en mängd av punkter enligt minsta-kvadratmetoden.

Gör en visualisering där punkter kan dras, och där man ser hur regressionslinjen då flyttas.

(a) Vad händer om punkterna placeras på en vertikal linje?

(b) Vad händer om man flyttar en punkt vertikalt, vars $x$-koordinat är medelvärdet av övriga punkters $x$-koordinater?


2. Undersök vad som händer om man ersätter FitLine med kommandot FitPoly. Vad händer om man anpassar ett polynom av grad $n$ till $n+1$ punkter? Undersök vilka andra typer av anpassningar som finns i Geogebra.


3. Man kan beräkna summan av kvadraterna av talen $1,\dots, n$ genom att beräkna potenser av matrisen \[A =  \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 0\\ 1 & 2 & 1 & 1\end{pmatrix}.\]
Denna summa är elementet i position $(4,1)$, alltså längst ner till vänster, i matrisen $A^n$.

Kontrollera att detta stämmer för några värden på $n$.

Pröva att anpassa polynom till denna talföljd, och se om det finns något polynom som passar särskilt bra.

4. Fibonaccitalen $F_0, F_1, F_2,\dots$ definieras rekursivt genom $F_0 = F_1 = 1$, och $F_{n+2} = F_n + F_{n+1}$.
Dessa tal kan beräknas genom potenser av matrisen
\[B = \begin{pmatrix} 1 & 1\\1 & 0\end{pmatrix}.\]
Undersök hur Fibonaccitalen dyker upp genom att beräkna några potenser av $B$.

Vilken typ av funktion verkar det vettigt att försöka anpassa med, om man vill approximera Fibonaccitalen? Gör en lämplig approximation och kontrollera hur bra den stämmer!

Dugga 3

Dugga 3 lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 7 oktober.  

1. Låt \[A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}\]
och
\[B =  \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}. \]
En av de här matriserna beskriver en rotation, och en beskriver en spegling.

(a) Vilken av matriserna beskriver en rotation, och vilken beskriver en spegling?
(b) I vilket plan sker speglingen?
(c) Kring vilken axel sker rotationen?

Ledtråd: Rotationsaxeln respektive planet för speglingen kommer att bestå av de vektorer $\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$ som uppfyller $A\cdot \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}$, respektive motsvarande för $B$.

Ett annat tips är att beräkna matriserna $A^2$, $A^3$, $B^2$ och $B^3$, och se om några slusatser kan dras.


2. Vi definierar $f(n)$ som antalet par $(x,y)$ av naturliga tal som uppfyller $x^2+y^2\leq n$, och gör en tabell över $f(n)$ för $0\leq n \leq 10$:

$n$	$f(n)$
0	1
1	3
2	4
3	4
4	6
5	8
6	8
7	8
8	9
9	11
10	13

Låt oss säga att vi misstänker att $f(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).

Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $f(n)$ (för $0\leq n\leq 10$) i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data!


3. Beräkna determinanten och inversen till följande matris:
$$\begin{pmatrix}
3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 3\\
\end{pmatrix}
$$

Schemaändring!

Påminner om att vi har bytt plats på två tillfällen i linjäralgebra och statistik, och att det därför blir algebra (föreläsning i Pascal) torsdagen den 22 september, och statistik (också i Pascal) fredag den 23.

Ny kursomgång 2016!

Nu har vi kört igång 2016 års kurs! 

Vi bestämde att vi börjar 8.15 och kör till 12.00, precis som tidigare år. Föreläsningarna är i Euler på tisdagar och i Pascal på fredagar. Därefter övningar i MVF26.

Vi har pratat om vektorer, addition av vektorer, multiplikation av vektorer med skalär, vinklar, avstånd. 

På första föreläsningen pratade vi om skalärprodukt, och i fredags började vi med vektorprodukt (= kryssprodukt).

Något jag inte hann säga på föreläsningen, men som dök upp i övningarna, var att vektorprodukten inte är kommutativ, utan i stället uppfyller regeln \[u\times v = -(v\times u).\] 

Kursplanering:

   

Tillfälle	Tid och plats	Bokavsnitt	Innehåll
1	ti 30/8 Euler	1.1-1.3	Översikt. Vektorbegreppet, vinklar, avstånd, Skalärprodukt.
2	fr 2/9 Pascal	1.4-1.5	Vektorprodukt (kryssprodukt). Linjärkombination, span, ortogonalitet, projektion, koordinatsystem.
3	ti 6/9 Euler	1.6	Mer om kryssprodukt. ON-baser. Räta linjer och plan på ekvations- och parameterform. Spegling.
4	fr 9/9 Pascal	1.1-1.6	Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt.
5	ti 13/9 Euler	2.1-2.3	Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser.
6	fr 16/9 Pascal	3.1-3.4	Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen.
7	ti 20/9 Euler (+datorlabb  13-15!)	3.5-3.7	Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar.
8	to 22/9 Pascal (Lunchmöte med studentrepresentanter fredag den 23)	4.1-4.3	Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen.
9	ti 27/9 Euler	5.1-5.3	Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination.
10	fr 30/9 Pascal	5.4-5.6	Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden.
11	ti 4/10 Euler (+datorlabb 13-15!)	6.1-6.3	Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning.
12	fr 7/10 Pascal	7.1-7.4	Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar.
13	ti 11/10 Euler	8.1-8.4	Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering.
14	fr 14/10 Pascal	9.1-9.4	Grafer, slumpvandring, Markovkedjor.
15	ti 18/10 Euler	1.1-9.4	Hemuppgift 4 in. Repetition.
16	må 24/10 Euler	1.1-9.4	Repetition.
Tenta!	to 27/10 kl. 8.30-12.30	Hela boken!	Tenta!