Tentan är rättad sedan ett tag tillbaka, men pappersarbetet har tagit onödigt lång tid. Om ni kommer ihåg ert nummer och vill veta resultatet nu direkt, så har ni det här nedanför.
Bra resultat överlag kan man väl säga. Var tentan för lätt? Nja, jag tycker inte det. Jag tycker det var en tenta som kollar att man kan det man ska kunna.
L9MA30:
Nummer poäng betyg
821 14 U
1458 34 VG
1808 24 G
1935 26 G
LGMA30:
Nummer poäng betyg
314 32 VG
334 21 G
403 36 VG
478 38 VG
517 30 VG
527 29 G
533 32 VG
555 7 U
572 30 VG
604 30 VG
611 26 G
617 17 U
622 31 VG
629 31 VG
649 23 G
656 30 VG
659 26 G
701 42 VG
738 39 VG
757 23 G
767 33 VG
784 31 VG
858 44 VG
940 37 VG
1055 30 VG
1197 42 VG
1198 2 U
1199 25 G
1204 21 G
1485 34 VG
1499 30 VG
1510 43 VG
1519 22 G
1953 40 VG
1970 32 VG
Wednesday, November 25, 2015
Friday, October 30, 2015
Kommentarer till tentan 2015-10-29
1. Vektorerna har längd $\sqrt{66}$ respektive $\sqrt{65}$, så $\mathbf{u}$ är längst. Deras skalärprodukt är 0, och de är således ortogonala. Ett exempel på en vektor som är ortogonal mot båda är kryssprodukten \[\begin{pmatrix} 1\\ 4 \\ 7\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 6\\ -5 \\2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 43\\ 40 \\ -29\end{pmatrix}\]
2. En normal till planet är $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, så vi söker en punkt i planet som kan skrivas som $\begin{pmatrix}1\cdot t\\2\cdot t\\2\cdot t\end{pmatrix}$ för något $t$. Ekvationen $1\cdot t+2\cdot 2t+2\cdot 2t = 1$ ger $t=1/9$, så punkten är $\begin{pmatrix}1/9\\2/9\\2/9\end{pmatrix}$. Avståndet från origo till denna punkt är \[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \frac13.\]
Förvånansvärt många har påstått att
\[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{81}} = \frac{\sqrt{5}}9.\]
3. Rotationen beskrivs av matrisen \[\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\] och speglingen av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.\] Rotation följt av spegling beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ -\frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\]
4. Inversen är \[ \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -3 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]
Lösningen till ekvationssystemet ges av första kolumnen i inversen (eftersom högerledet är $(1,0,0)$), dvs $a= 3$, $b=-3$, och $c=1$.
Märkligt nog verkar det vara svårare att lösa ekvationssystemet än att invertera matrisen. Några har inverterat korrekt, och sedan satt igång med Gausselimination på ekvationssystemet utan att notera att det man då gör bara är en upprepning av samma räkningar fast utan andra och tredje kolumnen i högerledet. Ibland har det gått snett med en kolumn trots att det gick bra med tre kolumner på sidan innan.
5. Ekvationssystemet kan skrivas
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix}.\] Förlängning med transponatet ger
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix},\] dvs
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix}.\]
Det här ledde väl till de besvärligaste siffrorna på tentan, men det borde ändå inte vara oöverstigligt för hand. Man ser att matrisen har determinant $14\cdot 6 - 5\cdot 5 = 59$, så $x$ och $y$ måste kunna skrivas med nämnare 59.
Man kan använda Gausselimination, alternativt minnas (och kontrollera!) hur man inverterar en $2\times 2$-matris:
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix},\] så
\[ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix}51 \\ 46\end{pmatrix}.\]
Så den bästa lösningen är $x=\frac{51}{59}$ och $y=\frac{46}{59}$.
6. Egenvärdena är $\sqrt{10}$ och $-\sqrt{10}$. Egenvektorerna kan väljas (och uttryckas) på ett antal ekvivalenta sätt: Egenvektorer som hör till egenvärdet $\sqrt{10}$ är \[\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{10}}3 \\ 1\end{pmatrix},\] eller om man multiplicerar med 3: \[\begin{pmatrix} 1+\sqrt{10} \\ 3\end{pmatrix}.\] En annan vektor som är parallell med dessa är \[\begin{pmatrix} 3\\ \sqrt{10}-1 \end{pmatrix}.\] Och det finns väl ytterligare ett par alternativ. Egenvektorerna som hör till det andra egenvärdet, $-\sqrt{10}$, kan fås genom att genomgående byta tecken på $\sqrt{10}$.
För att beräkna $A^{10}$ hade några genomfört diagonalisering enligt konstens alla regler, och fått \[ A^{10} = \begin{pmatrix} 100,000 & 0\\ 0 & 100,000\end{pmatrix}.\]
Fast uppgiften sållade väl inte riktigt agnarna från vetet, eftersom den som sätter igång genom att först beräkna $A^2$, noterar att \[A^2 = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix},\] och får fram samma svar direkt genom att $A^{10} = (A^2)^5$.
Fast meningen var att (b)-uppgiften skulle ge en verifiering av att man har räknat rätt i (a). Några har fått fel egenvärden i (a), till exempel $\lambda = -3\pm 1$. och sedan tyvärr inte fattat misstanke efter att ha noterat att $A^2$ är en diagonalmatris med $10, 10$ på diagonalen. Matrisen $A^2$ måste ju ha som egenvärden (åtminstone) kvadraterna på egenvärdena till $A$, så ser man att $A^2$ bara har egenvärdet $10$, är $\pm \sqrt{10}$ de enda möjliga egenvärdena till $A$.
7. Här har många trott att matrisen representerar en rotation $90^\circ$. Koordinataxlarna avbildas ju på varandra: $x$-axeln på $z$-axeln, $z$-axeln på $y$-axeln, och $y$-axeln på $x$-axeln. Och det är ju räta vinklar mellan axlarna. Men om rotationen upprepas, är man tillbaka efter tre steg (matrisen upphöjt till 3 blir enhetsmatrisen). Så rotationen måste vara $120^\circ$. Eller $240^\circ$, men det finns inget med- och motsols i rymden.
Rotationsaxeln består av de vektorer som avbildas på sig själva, dvs de som uppfyller \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}.\] Det visar sig vara de vektorer som är parallella med \[\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\] dvs de som har alla tre koordinaterna lika.
8. En ON-bas är en bas av parvis ortogonala enhetsvektorer (alltså längd 1). Det är enklast att börja med att hitta en ortogonal bas, och därefter normera (dividera varje vektor med sin egen längd för att få en enhetsvektor). Först hittar man en (nollskild) vektor som är ortogonal mot $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, dvs summan av koordinaterna ska vara noll. Till exempel kan vi ta $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. För att hitta en tredje vektor som är ortogonal mot båda dessa, kan vi beräkna deras kryssprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Slutligen normerar vi, och får
\[\frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Notera att det finns oändligt många korrekta svar, och att man bland annat kan permutera koordinater (bara man gör det konsekvent) och byta tecken på den ena eller båda vektorerna.
2. En normal till planet är $\begin{pmatrix}1\\2\\2\end{pmatrix}$, så vi söker en punkt i planet som kan skrivas som $\begin{pmatrix}1\cdot t\\2\cdot t\\2\cdot t\end{pmatrix}$ för något $t$. Ekvationen $1\cdot t+2\cdot 2t+2\cdot 2t = 1$ ger $t=1/9$, så punkten är $\begin{pmatrix}1/9\\2/9\\2/9\end{pmatrix}$. Avståndet från origo till denna punkt är \[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \frac13.\]
Förvånansvärt många har påstått att
\[\sqrt{\left(\frac19\right)^2 + \left(\frac29\right)^2 + \left(\frac29\right)^2} = \sqrt{\frac{5}{81}} = \frac{\sqrt{5}}9.\]
3. Rotationen beskrivs av matrisen \[\begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix},\] och speglingen av matrisen \[\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}.\] Rotation följt av spegling beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ -1 & 0\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ \frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\frac1{\sqrt{2}} & -\frac1{\sqrt{2}} \\ -\frac1{\sqrt{2}} & \frac1{\sqrt{2}}\end{pmatrix}.\]
4. Inversen är \[ \begin{pmatrix} 3 & -3 & 1 \\ -3 & 5 & -2\\ 1 & -2 & 1\end{pmatrix}.\]
Lösningen till ekvationssystemet ges av första kolumnen i inversen (eftersom högerledet är $(1,0,0)$), dvs $a= 3$, $b=-3$, och $c=1$.
Märkligt nog verkar det vara svårare att lösa ekvationssystemet än att invertera matrisen. Några har inverterat korrekt, och sedan satt igång med Gausselimination på ekvationssystemet utan att notera att det man då gör bara är en upprepning av samma räkningar fast utan andra och tredje kolumnen i högerledet. Ibland har det gått snett med en kolumn trots att det gick bra med tre kolumner på sidan innan.
5. Ekvationssystemet kan skrivas
\[ \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix}.\] Förlängning med transponatet ger
\[ \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 & 1\\ 2 & -1\\ 3 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3\\ 1 & -1 & 2\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}2\\ 1\\ 4\end{pmatrix},\] dvs
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix}.\]
Det här ledde väl till de besvärligaste siffrorna på tentan, men det borde ändå inte vara oöverstigligt för hand. Man ser att matrisen har determinant $14\cdot 6 - 5\cdot 5 = 59$, så $x$ och $y$ måste kunna skrivas med nämnare 59.
Man kan använda Gausselimination, alternativt minnas (och kontrollera!) hur man inverterar en $2\times 2$-matris:
\[ \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix},\] så
\[ \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} 14 & 5\\ 5 & 6\end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix} 6 & -5\\ -5 & 14\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16 \\ 9\end{pmatrix} = \frac1{59} \begin{pmatrix}51 \\ 46\end{pmatrix}.\]
Så den bästa lösningen är $x=\frac{51}{59}$ och $y=\frac{46}{59}$.
6. Egenvärdena är $\sqrt{10}$ och $-\sqrt{10}$. Egenvektorerna kan väljas (och uttryckas) på ett antal ekvivalenta sätt: Egenvektorer som hör till egenvärdet $\sqrt{10}$ är \[\begin{pmatrix} \frac{1+\sqrt{10}}3 \\ 1\end{pmatrix},\] eller om man multiplicerar med 3: \[\begin{pmatrix} 1+\sqrt{10} \\ 3\end{pmatrix}.\] En annan vektor som är parallell med dessa är \[\begin{pmatrix} 3\\ \sqrt{10}-1 \end{pmatrix}.\] Och det finns väl ytterligare ett par alternativ. Egenvektorerna som hör till det andra egenvärdet, $-\sqrt{10}$, kan fås genom att genomgående byta tecken på $\sqrt{10}$.
För att beräkna $A^{10}$ hade några genomfört diagonalisering enligt konstens alla regler, och fått \[ A^{10} = \begin{pmatrix} 100,000 & 0\\ 0 & 100,000\end{pmatrix}.\]
Fast uppgiften sållade väl inte riktigt agnarna från vetet, eftersom den som sätter igång genom att först beräkna $A^2$, noterar att \[A^2 = \begin{pmatrix} 10 & 0\\ 0 & 10\end{pmatrix},\] och får fram samma svar direkt genom att $A^{10} = (A^2)^5$.
Fast meningen var att (b)-uppgiften skulle ge en verifiering av att man har räknat rätt i (a). Några har fått fel egenvärden i (a), till exempel $\lambda = -3\pm 1$. och sedan tyvärr inte fattat misstanke efter att ha noterat att $A^2$ är en diagonalmatris med $10, 10$ på diagonalen. Matrisen $A^2$ måste ju ha som egenvärden (åtminstone) kvadraterna på egenvärdena till $A$, så ser man att $A^2$ bara har egenvärdet $10$, är $\pm \sqrt{10}$ de enda möjliga egenvärdena till $A$.
7. Här har många trott att matrisen representerar en rotation $90^\circ$. Koordinataxlarna avbildas ju på varandra: $x$-axeln på $z$-axeln, $z$-axeln på $y$-axeln, och $y$-axeln på $x$-axeln. Och det är ju räta vinklar mellan axlarna. Men om rotationen upprepas, är man tillbaka efter tre steg (matrisen upphöjt till 3 blir enhetsmatrisen). Så rotationen måste vara $120^\circ$. Eller $240^\circ$, men det finns inget med- och motsols i rymden.
Rotationsaxeln består av de vektorer som avbildas på sig själva, dvs de som uppfyller \[\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}.\] Det visar sig vara de vektorer som är parallella med \[\begin{pmatrix}1 \\ 1 \\ 1\end{pmatrix},\] dvs de som har alla tre koordinaterna lika.
8. En ON-bas är en bas av parvis ortogonala enhetsvektorer (alltså längd 1). Det är enklast att börja med att hitta en ortogonal bas, och därefter normera (dividera varje vektor med sin egen längd för att få en enhetsvektor). Först hittar man en (nollskild) vektor som är ortogonal mot $\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$, dvs summan av koordinaterna ska vara noll. Till exempel kan vi ta $\begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}$. För att hitta en tredje vektor som är ortogonal mot båda dessa, kan vi beräkna deras kryssprodukt:
\[ \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Slutligen normerar vi, och får
\[\frac1{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{2}} \begin{pmatrix}1\\0\\-1\end{pmatrix}, \quad \frac1{\sqrt{6}} \begin{pmatrix}-1\\2\\-1\end{pmatrix}.\]
Notera att det finns oändligt många korrekta svar, och att man bland annat kan permutera koordinater (bara man gör det konsekvent) och byta tecken på den ena eller båda vektorerna.
Wednesday, October 28, 2015
Tentan 2015-08-24
1. Båda vektorerna har längd $\sqrt{6}$. Kryssprodukten är $$\begin{pmatrix} \sqrt{3}-1\\ -2+\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\end{pmatrix}$$ Vinkeln mellan $\mathbf{w}$ och $\mathbf{u}$ är rät.
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
2. Avståndet är $\sqrt{4/3} = 2/\sqrt{3}$.
3. Bilden av enhetskvadraten har hörn i origo, $\begin{pmatrix}2\\ 4\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix}-2\\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0\\ 5\end{pmatrix}$. Matrisen har determinant 10 så arean av bilden är 10.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel $a=2t, b=3t−1, c=−4t+1, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-27$ och inversen är $$\begin{pmatrix} 0 & 1/3 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 0 & 1/3 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 0 & 1/3\\ 1/3 & 1/3 & 1/3 & 0\end{pmatrix}$$
6. Matrisen är $$\begin{pmatrix} -\sqrt{3}/2 & 1/2 \\ 1/2 & \sqrt{3}/2\end{pmatrix}$$
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2-4\lambda + 1$. Egenvärdena är $2+\sqrt{3}$ och $2-\sqrt{3}$ med egenvektorer (till exempel) $$\begin{pmatrix}1+\sqrt{3}\\ 1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix} 1 - \sqrt{3}\\ 1 \end{pmatrix}$$
Det finns andra korrekta svar, till exempel vektorerna
$$\begin{pmatrix}2\\ \sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ respektive $$\begin{pmatrix}2\\ -\sqrt{3}-1\end{pmatrix}$$ som faktiskt är parallella med de ovanstående, även om det inte syns omedelbart!
8. Ett exempel på en sådan matris är $$\begin{pmatrix} -3 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$ Det finns många andra exempel. För en sådan matris blir $B^2+3B+I = 0$. Matrisen uppfyller sin egen karakteristiska ekvation!
Tuesday, October 27, 2015
Tentan 2015-01-05
1. Vektorerna har längd 3 respektive $\sqrt{6}$. Deras kryssprodukt är $\begin{pmatrix} \sqrt{3}-2\sqrt{2}\\ \sqrt{2}-2\sqrt{3}\\ -1\end{pmatrix} $. Kontrollera att svaret är ortogonalt mot både $u$ och $v$!
2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.
3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3} \end{pmatrix}.\]
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!
8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.
2. Notera att linjerna är parallella! Punkterna $\begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix}$ ligger på minimalt avstånd, eftersom vektorn $\begin{pmatrix} 2\\ 2 \\ 2\end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1\\ 1 \\ 1\end{pmatrix}$ är ortogonal mot linjernas riktningsvektor. Avståndet är därför $\sqrt{3}$.
3. Bilden blir ett parallellogram med hörn i origo, $\begin{pmatrix} 3\\ 1\end{pmatrix}$, $\begin{pmatrix} -1\\ 2\end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix} 2\\ 3\end{pmatrix}$. Eftersom matrisen har determinant 7, är arean av detta parallellogram 7.
4. Lösningsmängden (det blir en rät linje) kan parametriseras på olika sätt, till exempel
$a = 7/4-t/2, b = 3/4+t/2, c = -3/4-3t/2, d=t$. Om du har uttryckt lösningen på annat sätt och vill kontrollera att det är rätt, så räcker det (i det här fallet, eftersom det är en rät linje) att ta två olika värden på parametern och kolla att motsvarande punkter löser systemet.
5. Determinanten är $-2$ och inversen är $\begin{pmatrix}0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1/2 & 0\\ -5 & 2 & 0 & 0\\3 & -1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$.
6. Speglingen av punkten $\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}$ i linjen $x=2y$ är $\begin{pmatrix}3/5 \\ 4/5 \end{pmatrix}$, och speglingen av punkten $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ är $\begin{pmatrix}4/5 \\ -3/5 \end{pmatrix}$. Om man ritar upp det på ett rutat papper kan man verifiera att punkten $\begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}3 \\ 4 \end{pmatrix}$ och $\begin{pmatrix}0 \\ 5 \end{pmatrix}$ speglas i $\begin{pmatrix}4 \\ -3 \end{pmatrix}$.
Speglingen i linjen $x=2y$ ges alltså av matrisen $\begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix}$. Spegling bevarar avstånd, dvs det är en isometri, så vi kan kontrollera att kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala mot varandra (ekvivalent, att matrisens transponat är dess invers). Rotation $120^\circ$ motsols runt origo ges av matrisen $\begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix}$.
Att först spegla och sedan rotera beskrivs av matrisen
\[ \begin{pmatrix}-1/2 & -\sqrt{3}/2 \\ \sqrt{3}/2 & -1/2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}3/5 & 4/5\\4/5 & -3/5 \end{pmatrix} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} -3-4\sqrt{3} & -4+3\sqrt{3} \\ -4+3\sqrt{3} & 3+4\sqrt{3} \end{pmatrix}.\]
7. Det karakteristiska polynomet är $\lambda^2 - 5\lambda + 7$. Om man, som i (b), sätter in matrisen $A$ i sitt eget karakteristiska polynom, blir resultatet nollmatrisen. Man kan säga att en kvadratisk matris alltid löser sin egen karakteristiska ekvation!
8. Matrisen har det karakteristiska polynomet $-\lambda^3 + \frac{11}{7}\lambda^2 - \frac{11}{7}\lambda + 1$. Det enda reella egenvärdet är 1. Eftersom matrisen representerar en isometri (kolumnvektorerna har längd 1 och är ortogonala), måste den beskriva en rotation.
Extra övning
Morgondagens (alltså onsdag 28/10) extra övningstillfälle blir i sal MVF26 klockan 10-12. Det blir allmän frågestund, med visst fokus på linjär algebra!
Monday, October 19, 2015
Tuesday, October 6, 2015
Dugga 3
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 9 oktober.
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
1. Bland nedanstående matriser, ange vilken som är
(a) en rotation
(b) en spegling
(c) en matris $X$ sådan att $X\neq 0$ och $X^2\neq 0$, men $X^3 = 0$.
(d) en annan matris.
$$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1\\ 0 & -1 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ -2/3 & 1/3 & 2/3\\ -1/3 & 2/3 & -2/3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 2/3 & 2/3 & 1/3\\ 1/3 & -2/3 & 2/3\\ 2/3 & -1/3 & -2/3 \end{pmatrix}
$$
Ledtråd: Speglingen är en av de två första, och rotationen är en av de två sista.
2.
Beskriv en regel/formel för determinanterna av matriserna
$$ \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
...
$$
dvs förklara hur determinanten för en sådan matris beror av storleken.
3. Den talteoretiska funktionen $\sigma(n)$ definieras som summan av de positiva delarna till talet $n$. Exempelvis är $\sigma(10) = 1+2+5+10 = 18$.
Tabell över $\sigma(n)$ för $1\leq n \leq 10$:
| $n$ | $\sigma(n)$ |
|---|---|
| 1 | 1 |
| 2 | 3 |
| 3 | 4 |
| 4 | 7 |
| 5 | 6 |
| 6 | 12 |
| 7 | 8 |
| 8 | 15 |
| 9 | 13 |
| 10 | 18 |
Låt oss säga att du misstänker att $\sigma(n)$ kan approximeras med en funktion av typen $f(n) = an+b$ (dessa kallas ibland "linjära" trots att de inte är det i strikt mening).
Beräkna de värden på $a$ och $b$ som bäst approximerar $\sigma(n)$ i minsta kvadrat-mening utifrån ovanstående data.
4.
Beräkna inversen till matrisen
$$\begin{pmatrix}
-1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & 1\\
1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & -1\\
\end{pmatrix}
$$
Tuesday, September 22, 2015
Datorlabb, Geogebra
Syftet med laborationen är att lära känna programmet Geogebra, och experimentera med dess funktioner för linjär algebra.
1.
Bekanta dig med programmet Geogebra. Se hur man kan skapa objekt som punkter, räta linjer, och polygoner, hur dessa representeras både grafiskt och algebraiskt, samt hur man kan editera dem grafiskt genom att dra i punkter.
2.
Låt Geogebra beräkna vinkeln som ges av de tre punkterna $(0,1)$, $(2,0)$, och $(2,2)$. Programmet ger svaret numeriskt. Kontrollera att det stämmer. Vad händer om man tar punkterna i motsatt ordning?
3.
Skapa två vektorer i tre dimensioner och beräkna deras skalär- och vektorprodukter med hjälp av kommandona Cross och Dot. Experimentera med 3D-grafiken och se vad som händer om vektorerna är parallella respektive ortogonala.
4.
Rita enhetskvadraten. Skapa en $2\times 2$-matris $M$, till exempel $$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 1 & 2\end{pmatrix}$$ och använd kommandot ApplyMatrix för att se hur matrisen $M$ verkar på enhetskvadraten.
Experimentera med andra matriser och andra figurer (gärna osymmetriska).
Beräkna determinanten för matrisen, och se vad som händer när man "applicerar" en matris vars determinant är positiv/negativ/noll. Beräkna arean av en figur, och arean av bilden.
Kan motsvarande göras i tre dimensioner?
5.
Använd kommandot Inverse för att beräkna inversen till en matris. Undersök vad som händer om man startar med en figur, applicerar matrisen $M$, och därefter applicerar inverse(M) på resultatet.
Friday, September 18, 2015
Dugga 2
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 25 september.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
1.
Låt $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}$, $B = \begin{pmatrix} -1 & 1\\ 1 & -1\end{pmatrix}$, och låt $C$ vara den $3\times 3$-matris som ges av $C_{i,j} = i+j-1$.
Vilka av de nio tänkbara produkterna $A^2$, $B^2$, $C^2$, $AB$, $BA$, $AC$, $CA$, $BC$ och $CB$ är definierade?
Beräkna dessa!
2.
(a) Bestäm den matris $A$ som uppfyller
\[A\cdot \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix}.\]
(b)
Bestäm den matris $B$ som uppfyller
\[B\cdot \begin{pmatrix} x+2y\\x+2y+z\\y+z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x\\y\\z\end{pmatrix}.\]
3.
(a) Rita den första bokstaven i ditt namn inuti enhetsvadraten $[0,1]\times [0,1]$, gärna med skrivstil om det är en symmetrisk bokstav. Rita bilden av enhetskvadraten och bokstaven under den linjära avbildning som representeras av matrisen
\[\begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}.\]
(b) Beräkna matrisens determinant.
(c) Vad är arean av bilden av enhetskvadraten?
4.
(a)
Bestäm matrisen $A$ och vektorn $\mathbf{b}$ så att \[A\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{b}\] är den avbildning som består av att först rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln, och därefter spegla i planet $y = z - 1$.
(b)
Bestäm matrisen $C$ och vektorn $\mathbf{d}$ så att \[C\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix} + \mathbf{d}\] är den avbildning som består av att först spegla i planet $y = z - 1$ och därefter rotera $120^\circ$ i positiv riktning runt $z$-axeln.
Monday, September 7, 2015
Dugga 1
Lämnas in senast vid början av föreläsningen fredagen den 11 september.
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
1.
(a) Nisse ska lösa ekvationen $x^3-6x^2+5x+12 = 0$. Efter att ha fyllt tre ark med uträkningar, kommer han fram till att lösningarna är $x=1$, $x=3$, och $x=4$. Vad borde Nisse göra nu?
(b) Lisa löser ekvationssystemet
\[
\begin{cases}
a+b+c = 2\\
a+2b+3c = 5 \\
a-b+c = 6\\
\end{cases}
\]
och får det till att $a=1$, $b=-2$, och $c=3$. Vad borde hon göra nu?
(c) Beräkna kryssprodukten
\[ \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ -1 \end{pmatrix}.\]
2.
(a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på det plan som ges av ekvationen \[x-2y+z = 0.\]
(b) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten $(2,3,5)$ på den linje som ges i parameterform av
\[
\begin{cases}
x = t\\
y=2t\\
z = 3t.
\end{cases}
\]
3. En idealisk, punktformad boll kastas från origo längs $x$-axeln (i positiv riktning) i ett tredimensionellt rum, med hastigheten 1 längdenhet per sekund. Den studsar mot det plan som har ekvationen $3x+2y+z= 6$.
(a) Vad är vinkeln mellan bollens ursprungliga riktning och en normal till planet?
(b) Var befinner sig bollen efter 4 sekunder?
4. Kasta en tärning 6 gånger för att få koordinater till två vektorer i $\mathbb{R}^3$. Jag fick till exempel $(1,1,3)$ och $(4,3,5)$. Beräkna vinkeln mellan dina två vektorer! Gör om experimentet, men i fem dimensioner i stället!
Monday, August 31, 2015
Kursstart!
Då var det dags för linjär algebra igen, och jag kommer att fortsätta att använda den här bloggen. Förhoppningsvis kan det vara nyttigt för alla inblandade att kunna se lite vad som hände i fjol.
Kursboken blir, precis som förra året, Linjär algebra från en geometrisk utgångspunktoch är skriven av min chalmerskollega Stefan Lemurell. Den ska finnas på bokhandeln i kårhuset.
Jag skrev lite om boken i den allra första bloggposten.
Vi kommer att börja tillfällena med "föreläsning" klockan 8-10 i Euler (tisdagar) eller Pascal (fredagar), och fortsätta med "övning" i sal MVF26 klockan 10-12. Se även schemat. Vi kommer att köra igenom i princip hela boken, med avsnitten i ordningsföljd, enkelt och bra!
Det kommer dessutom att bli två datorlabbar, den 22 september och 6 oktober. Mer info om dem kommer senare!
Något om examinationen: Som synes är det tänkt att det aka bli fyra hemduggor. Kanske två-tre kunde ha räckt, men jag tror det är bättre att ha ett större antal, och att var och en av dem inte behöver vara så skräckinjagande. Hemduggorna kommer att, om de görs ordentligt, kunna ge bonuspoäng på tentan, men detta förutsätter, utan pardon, att de lämnas in senast vid starten av respektive föreläsning, för sedan är det är meningen att vi ska kunna diskutera dem. Men det är som sagt fyra stycken, så missar man en är det inte hela världen.
På tentan kommer man att få ha med sig en egenhändigt skriven "formelsamling" på ett A4-ark. Däremot kommer inga tekniska hjälpmedel att tillåtas! I fjol sa jag att man skulle få ha med sig miniräknare, vilket bara ledde till onödiga diskussioner om exakt vilka räknare som skulle vara tillåtna.
Kursboken blir, precis som förra året, Linjär algebra från en geometrisk utgångspunktoch är skriven av min chalmerskollega Stefan Lemurell. Den ska finnas på bokhandeln i kårhuset.
Jag skrev lite om boken i den allra första bloggposten.
Vi kommer att börja tillfällena med "föreläsning" klockan 8-10 i Euler (tisdagar) eller Pascal (fredagar), och fortsätta med "övning" i sal MVF26 klockan 10-12. Se även schemat. Vi kommer att köra igenom i princip hela boken, med avsnitten i ordningsföljd, enkelt och bra!
Det kommer dessutom att bli två datorlabbar, den 22 september och 6 oktober. Mer info om dem kommer senare!
| Tillfälle | Tid och plats | Bokavsnitt | Innehåll |
|---|---|---|---|
| 1 | ti 1/9 Euler | 1.1-1.3 | Översikt. Vektorbegreppet, linjärkombination, span. Skalärprodukt, ortogonalitet, projektion, spegling. |
| 2 | fr 4/9 Pascal | 1.4-1.5 | Vektorprodukt (kryssprodukt). Koordinatsystem, bas, ON-bas, avstånd. |
| 3 | ti 8/9 Euler | 1.6 | Räta linjer och plan, ekvations- och parameterform. |
| 4 | fr 11/9 Pascal | 1.1-1.6 | Hemuppgift 1 in. Repetition kap 1. Geometrisk problemlösning, tillämpning av skalär- och vektorprodukt. |
| 5 | ti 15/9 Euler | 2.1-2.3 | Matriser och matrismultiplikation. Determinanter av 2x2- och 3x3-matriser. |
| 6 | fr 18/9 Pascal | 3.1-3.4 | Begreppet linjärt rum(!). Linjära avbildningar. Exempel, geometriska egenskaper, bassatsen. |
| 7 | ti 22/9 Euler (+datorlabb!) | 3.5-3.7 | Sammansatta avbildningar, area- och volymförändring, affina avbildningar. |
| 8 | fr 25/9 Pascal | 4.1-4.3 | Hemuppgift 2 in. Rummet R^n. Geometri i n dimensioner, bassatsen. |
| 9 | ti 29/10 Euler | 5.1-5.3 | Linjära ekvationssystem. Matrisform, Gausselimination. |
| 10 | fr 2/10 Pascal | 5.4-5.6 | Matrisinvertering. Överbestämda system, minsta kvadratmetoden. |
| 11 | ti 6/10 Euler (+datorlabb!) | 6.1-6.3 | Determinanter. Definitioner, egenskaper, effektiv beräkning. |
| 12 | fr 9/10 Pascal | 7.1-7.4 | Hemuppgift 3 in. Baser och linjärt oberoende. ON-baser och isometriska avbildningar. |
| 13 | ti 13/10 Euler | 8.1-8.4 | Egenvärden och egenvektorer. Spektralsatsen, diagonalisering. |
| 14 | fr 16/10 Pascal | 9.1-9.4 | Grafer, slumpvandring, Markovkedjor. |
| 15 | ti 20/10 Euler | 1.1-9.4 | Hemuppgift 4 in. Repetition. |
| 16 | må 26/10 MVF26 | 1.1-9.4 | Repetition. |
| Tenta! | to 29/10 kl. 8.30-12.15 | Hela boken! | Tenta! |
Något om examinationen: Som synes är det tänkt att det aka bli fyra hemduggor. Kanske två-tre kunde ha räckt, men jag tror det är bättre att ha ett större antal, och att var och en av dem inte behöver vara så skräckinjagande. Hemduggorna kommer att, om de görs ordentligt, kunna ge bonuspoäng på tentan, men detta förutsätter, utan pardon, att de lämnas in senast vid starten av respektive föreläsning, för sedan är det är meningen att vi ska kunna diskutera dem. Men det är som sagt fyra stycken, så missar man en är det inte hela världen.
På tentan kommer man att få ha med sig en egenhändigt skriven "formelsamling" på ett A4-ark. Däremot kommer inga tekniska hjälpmedel att tillåtas! I fjol sa jag att man skulle få ha med sig miniräknare, vilket bara ledde till onödiga diskussioner om exakt vilka räknare som skulle vara tillåtna.
Subscribe to:
Posts (Atom)