Lite hintar för dugga 2

Som några av er hade kommit på, måste matrisen $B$ i uppgift 2(b) vara inversen till matrisen $A$ i 2(a). Vi har inte gått igenom hur man beräknar inverser, men ni klarar det nog ändå!

Man kan göra ungefär som i uppgift 3.5 i boken. Fast det är lite taskigt att ge det rådet, när det inte finns någon lösning till 3.5 varken i boken eller på webben. Here goes.

$f$ är en linjär avbildning som uppfyller $f\pmatrix{1\\1\\1} = \pmatrix{2\\3\\4}$, $f\pmatrix{1\\1\\0} = \pmatrix{2\\8\\9}$, och $f\pmatrix{0\\1\\1} = \pmatrix{1\\5\\2}$.   
Kolumnerna i matrisen utgörs av $f\pmatrix{1\\0\\0}$,  $f\pmatrix{0\\1\\0}$, och  $f\pmatrix{0\\0\\1}$, så det är dem vi försöker beräkna. Eftersom $\pmatrix{1\\1\\1} - \pmatrix{1\\1\\0} = \pmatrix{0\\0\\1}$, får vi $f\pmatrix{0\\0\\1} = f\pmatrix{1\\1\\1} - f\pmatrix{1\\1\\0} = \pmatrix{2\\3\\4} - \pmatrix{2\\8\\9} = \pmatrix{0\\-5\\-5}$.
Och eftersom  $\pmatrix{0\\1\\1} - \pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{0\\1\\0}$, får vi på samma sätt  $f\pmatrix{0\\1\\0} = f\pmatrix{0\\1\\1} - f\pmatrix{0\\0\\1} = \pmatrix{1\\5\\2} - \pmatrix{0\\-5\\-5} = \pmatrix{1\\10\\7}$.
Slutligen är $\pmatrix{1\\0\\0} = \pmatrix{1\\1\\0} - \pmatrix{0\\1\\0}$, så
$$f\pmatrix{1\\0\\0} = f\pmatrix{1\\1\\0} - f\pmatrix{0\\1\\0} = \pmatrix{2\\8\\9} - \pmatrix{1\\10\\7} = \pmatrix{1\\-2\\2}.$$
Matrisen är alltså
$$\pmatrix {1 & 1& 0 \\-2 & 10 & -5\\2 & 7 & -5}.$$
Kontrollräkna!
Lägg märke till att högerleden i de givna ekvationerna, alltså $\pmatrix{2\\3\\4}$,  $\pmatrix{2\\8\\9}$, och $\pmatrix{1\\5\\2}$, inte spelar någon roll i själva problemlösningen! Vad det handlar om är att pussla ihop standardbasvektorerna $\pmatrix{1\\0\\0}$, $\pmatrix{0\\1\\0}$,och $\pmatrix{0\\0\\1}$ av pusselbitarna $\pmatrix{1\\1\\1}$, $\pmatrix{1\\1\\0}$,och $\pmatrix{0\\1\\1}$. En plan för hur problemet ska lösas är att eftersom vi vet $f\pmatrix{1\\1\\1}$ och $f\pmatrix{1\\1\\0}$, kan vi räkna ut $f\pmatrix{0\\0\\1}$. Eftersom vi vet $f\pmatrix{0\\1\\1}$ och $f\pmatrix{0\\0\\1}$, kan vi sedan räkna ut $f\pmatrix{0\\1\\0}$. Och eftersom vi vet $f\pmatrix{1\\1\\0}$ och $f\pmatrix{0\\1\\0}$, kan vi slutligen räkna ut $f\pmatrix{1\\0\\0}$. Klart! I princip.
Man kan göra på olika sätt och ta stegen i olika ordning, exempelvis kunde vi räkna ut $f\pmatrix{1\\0\\0}$ först, eftersom vi vet $f\pmatrix{1\\1\\1}$ och $f\pmatrix{0\\1\\1}$.

Och hur är det här samma sak som uppgift 2(b)? Jo för att om vi sätter in valfria värden på $x$, $y$ och $z$, får vi fram ekvationer liknande de som ges i uppgift 3.5. Om vi till exempel tar $x=1$ och $y=z=0$, får vi $B\cdot\pmatrix{-1\\1\\-2} = \pmatrix{1\\0\\0}$. Kom i håg att för problemlösningen spelar högerledet här inte någon roll! Tänk "nu vet vi $B\cdot\pmatrix{-1\\1\\-2}$".

Om man tycker det verkar för trassligt att få fram $B$ gånger standardbasvektorerna på det sättet kan man kolla lite på internet hur man inverterar en matris. Några hade hittat en "grand formula for inverse of 3 by 3 matrix". Nu vet man ju aldrig om det man hittar på nätet är korrekt, men har man en kandidat för $B$, är det ju bara att sätta in och kolla om det stämmer.

Vill man göra ordentligt, kan man annars tjuvtitta i förväg i boken. Exempel 5.30, sid 169-170, visar hur man inverterar en $3\times 3$-matris.

Om man tycker att det ser konstigt ut, men inte är rädd för linjära ekvationssystem, kan man ställa upp ekvationer för att hitta värden på $x$, $y$ och $z$ som ger standardbasvektorerna. För att vektorn $\pmatrix{-x+y-2z\\x-y+z\\3y-2x}$ ska vara lika med $\pmatrix{1\\0\\0}$ till exempel, måste vi ha
$$\begin{cases} -x+y-2z&=1\\x-y+z&=0\\3y-2x&=0\end{cases}$$
Bara att lösa ut variablerna i tur och ordning!

Slutligen, inte att underskatta, finns brute-forcemetoden. Ta fram datorn och låt $x$, $y$ och $z$ gå från, säg, $-100$ till $100$. Det är bara 8 miljoner fall. För vart och ett, beräkna $\pmatrix{-x+y-2z\\x-y+z\\3y-2x}$ och kolla om det är en standardbasvektor. Klart på någon sekund.
Men vänta, elementen i inversen behöver ju inte vara heltal! I allmänhet är de ju rationella tal, där nämnaren är matrisens determinant. Så metoden blir att först räkna ut determinanten av matrisen $A$ med Sarrus regel, och sedan låta $x$, $y$, och $z$ vara heltal dividerat med denna determinant.
Fast vänta igen, säg att determinanten är 14, och att värdena $x=a/14$, $y=b/14$ och $z=c/14$ ger $\pmatrix{-x+y-2z\\x-y+z\\3y-2x} = \pmatrix{1\\0\\0}$. Då skulle ju värdena $x=a$, $y=b$ och $z=c$ ha gett $\pmatrix{-x+y-2z\\x-y+z\\3y-2x} = \pmatrix{14\\0\\0}$. Så vi behöver inte räkna ut determinanten först. I stället testar vi heltalsvärden på $x$, $y$ och $z$, och låter vårt program skriva ut de värden som ger någon multipel av standardbasvektorerna, dvs någon vektor som har två av tre komponenter lika med noll. 
Nog om uppgift 2(b), lycka till!

På uppgift 4 är det några som har funderat kring detta med att rotera i positiv riktning eller motsols, i tre dimensioner. Vad betyder det? Det beror ju på från vilket håll man tittar. Om man sitter i en satellit ovanför nordpolen och tittar ner på jorden, snurrar den motsols, men tittar man från ovanför sydpolen (under??), snurrar den medsols. I princip behöver man en riktning på linjen för att kunna tala om rotation i positiv riktning runt linjen. Nu handlar det om $z$-axeln, och då finns en naturlig riktning. Vi gör alltså som i Exempel 3.21 på sid 97-98 i boken. Det innebär att $xy$-planet i sig roterar på det sätt som vi kallar positiv riktning i två dimensioner.

När ni har fått fram något som ni tror är rätt svar, kontrollräkna! Gäller det mesta i den här kursen.