Några anteckningar efter första tillfället

Nu har vi haft ett föreläsnings- och övningstillfälle, och jag tänkte skriva ner några saker medan jag har dem i minnet. 

Vi pratade om vektorer (något som har längd och riktning), vektoraddition, multiplikation skalär gånger vektor (som blir ny vektor), vinklar och längd.

De inledande övningsuppgifterna gav nyttig träning i geometri och trigonometri. Man fick använda Pythagoras sats, dra sig till minnes definitionerna av sinus, cosinus och tangens (det var någonting med cosy och närstående). Cosinussatsen var också bra att komma ihåg.

Det viktiga nya begreppet var skalärprodukt, en sorts produkt där man multiplicerar två vektorer och resultatet blir ett tal (tal = skalär). Skalärprodukten av två vektorer $u$ och $v$ med mellanliggande vinkel $\alpha$ definieras som
$$u\cdot v = \left\| u \right\|\cdot\left\| v \right\| \cdot \cos \alpha.$$
Längden av vektorn $u$ skrivs $\left\| u \right\|$, vilket förstås påminner om hur man skriver belopp av tal.

En viktig insikt som behöver smältas är att även om vinkeln mellan $u$ och $v$ används i definitionen av skalärprodukt, så kommer skalärpodukten att bli ett redskap för att beräkna bland annat vinklar. Detta kan i förstone verka paradoxalt - vi måste väl veta vinkeln $\alpha$ för att beräkna $u\cdot v$?

Nja, det fiffiga med skalärprodukten är att den uppfyller ett antal räkneregler, bland annat den distributiva lagen:
$$u\cdot (v + w) = u\cdot v + u\cdot w.$$  
Det gör att man exempelvis kan räkna ut vinkeln mellan två rymddiagonaler i en kub (övning 1.40 i boken). Om $e_1$, $e_2$ och $e_3$ är parvis ortogonala enhetsvektorer (parallella med sidorna i kuben), kan vi räkna ut skalärprodukten av rymddiagonalerna $$u = e_1+e_2+e_3$$ och $$v= e_1+e_2-e_3$$ som $$u\cdot v = (e_1+e_2+e_3)\cdot (e_1+e_2-e_3) = e_1\cdot e_1 + e_2\cdot e_2 - e_3\cdot e_3 = 1+1-1 = 1.$$
Lägg märke till att alla "blandade" termer av typen $e_1\cdot  e_2$ är noll. Eftersom $u$ och $v$ vardera har längden $\sqrt{3}$, får vi $$u\cdot v = \sqrt{3}\cdot \sqrt{3} \cdot \cos \alpha,$$ där $\alpha$ är vinkeln, så när vi vet att skalärprodukten är 1, leder det till att $\cos\alpha =1/3$, eller om man så vill (det är en typo i facit i boken) $$\alpha = \arccos\left(\frac13\right)\approx 70.5^\circ.$$
Att $u$ och $v$ har längd $\sqrt{3}$ kan man se genom att använda "Pythagoras sats i tre dimensioner". Man kan också få fram det genom att använda skalärprodukt:
$$u\cdot u = (e_1+e_2+e_3)\cdot (e_1+e_2+e_3) = e_1\cdot e_1+e_2\cdot e_2+e_3\cdot e_3 = 3.$$ Men samtidigt gäller enligt definitionen att
$$u\cdot u = \left\| u \right\| \cdot \left\| u \right\| \cdot \cos 0 = \left\| u \right\|^2,$$ så $\left\| u \right\|$ måste vara lika med $\sqrt{3}$.

Skalärprodukten definieras i termer av längd och vinklar, men definitionen är inte godtycklig. Genom att skalärpodukten uppfyller vissa räkneregler inklusive den distributiva lagen, kan den användas som ett redskap för att räkna ut vinklar och avstånd.

Skalärprodukten av en vektor med sig själv brukar skrivas $u\cdot u$, inte $u^2$. Anledningen, rent logiskt, är att skalärprodukten bara funkar för två vektorer. Det finns ingen analog definition av till exempel $u^3$. Däremot kan man skriva $\left\| u\right\|^2$, för det är samma sak som $u\cdot u$.

Förutom trigonometrin var det också dags att damma av en del algebra. I uppgift 1.2 (b) kunde man få det till $$\arctan\left(\frac{\frac{10}{\sqrt{2}}}{40-\frac{10}{\sqrt{2}}}\right),$$
men i facit står det $$\arctan\left(\frac{4\sqrt{2}+1}{31}\right).$$
Det kan väl inte vara samma, för vad kommer talet 31 ifrån? Jo faktiskt,
$$\frac{\frac{10}{\sqrt{2}}}{40-\frac{10}{\sqrt{2}}} = \frac{5\sqrt{2}}{40-5\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{8-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}\cdot (8+\sqrt{2})}{(8-\sqrt{2})\cdot (8+\sqrt{2})} = \frac{8\sqrt{2}+2}{64-2} = \frac{4\sqrt{2}+1}{31}.$$
Du skall alltid förlänga med konjugatet! Notera också att en sydvästlig vind kommer från sydväst, och blåser mot nordost!

För övrigt har jag nu lyckats komma åt den officiella kurshemsidan, så nu finns planeringen även där.

Ses på torsdag, då även den första omgången hemuppgifter ska ut.