Lite om kapitel 3, lunch med studentrepresentanter mm

Hemdugga 2 finns sedan i tisdags på den officiella kurshemsidan, och delades ut på papper i torsdags. Den ska lämnas in vid början av föreläsningen på tisdag, 30 september. Så om ni inte har kollat på den än, gör det! Se även mina hintar.

Vi kommer att ha samma tentaregler på båda delarna av kursen, dvs miniräknare tillåten (men inte förprogrammerad eller som kan anslutas till internet), samt egenhändigt handskriven "formelsamling" (eller exempellösningar eller vad ni vill) på ett a4-ark.

Henrike, jag, Pontus och Daniel åt lunch i torsdags och pratade om kursen. Henrike fick beröm för sina repetitioner i början av föreläsningarna, och för struktur på föreläsningarna, med föreläsningens mål i punktform. Jag ska försöka ta efter.
Exempel är bra och viktigt, var alla överens om.
Jag ska inte vara rädd för att dra över tiden med mina föreläsningar, eftersom vi har hela förmiddagen.
Bloggen är bra, var i alla fall Pontus och Daniels åsikt. Jag skulle gärna vilja att alla läser den, men jag ser på statistiken över nedladdningar att det inte är så. Det vore bra att bygga upp något slags formelsamling, och punkter som man ska kunna, i form av en bloggpost.
Dugga 1 höll en hög svår nivå, men var givande. Bra tycker jag. Det ska inte vara lätta duggor och sedan kalldusch på tentan. Hellre tvärtom.
Vi pratade också om miljön i lektionssalen och hur arbetet där fungerar. Jag tycker det är väldigt bra att så många är där och att ni samarbetar, och det är kul att se att folk är där redan innan jag kommer strax efter 8.00 och sitter kvar med kaffetermosarna när jag går på lunch. Kan det rentav bli lite för fnittrigt och högljutt?
Vi kommer att ha ett utvärderingsmöte direkt efter linjär-algebratentan den 30 oktober.

Den här veckan har vi gått igenom kapitel 3. I min ursprungliga planering av kursen hade jag skrivit att tisdagens föreläsning skulle handla om bland annat begreppet linjärt rum. När det var dags för en mer detaljerad förberedelse av föreläsningen, upptäckte jag till min förvåning att kollegan Lemurell har lyckats undvika att definiera detta begrepp!

Medan vi är inne på det här med att gnälla på boken, kolla listan med "tryckfel" och rätta med en penna direkt i era böcker, det dyker nämligen upp mer fel!

Det här med linjära rum är inte så märkvärdigt att det behöver censureras bort. Högst upp på sidan 88 definieras linjära avbildningar (Def 3.1), och definitionen av linjärt rum borde stå parallellt med denna. För att definition 3.1 ska fungera krävs nämligen att åtminstone $V$, och helst också $W$, ska vara slutna under addition och multiplikation med skalär. Om $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ ligger i $V$, säger den första ekvationen att $$f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v}).$$
Då är det ju bra om $\mathbf{u}+\mathbf{v}$ ligger i $V$ så att vänsterledet är definierat. Motsvarande gäller den andra ekvationen.

Så låt oss klargöra vad som menas med ett linjärt rum (eller synonymt vektorrum). Definitionen är så att säga inte från grunden, utan vi antar att vektoraddition och multiplikation är definierade och uppfyller räknereglerna i Proposition 1.8 på sidan 10 (se även ovan länkade wikipediasida om Vector Spaces). En mängd $V$ av vektorer kallas då ett linjärt rum om

• mängden $V$ är sluten under addition, dvs om $\mathbf{u}\in V$ och $\mathbf{v}\in V$, så $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$.
• mängden $V$ är sluten under multiplikation med skalär, dvs om $\mathbf{v}\in V$ och $c\in \mathbb{R}$, så $cv \in V$.

 Det finns en liten ytterligare nitpick, nämligen att den tomma mängden inte räknas som ett vektorrum. Vi kan lägga till punkten

• $0\in V$.

Vi kan se det som att detta med sluten under addition även ska innefatta den tomma summan.

Förresten kan vi väl upprepa definitionen av linjär avbildning här. En funktion $f$ från ett linjärt rum $V$ till ett linjärt rum $W$ kallas linjär om den uppfyller:

• $f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v})$, och
•  $f(c\cdot \mathbf{v}) = c\cdot f(\mathbf{v})$.

På tisdagens föreläsning pratade vi om standardexempel på linjära avbildningar, alltså typer av avbildningar som man förväntas känna till är linjära. Dessa är

• Omskalningar, dvs multiplikation med skalär (även omskalningar med olika faktorer i olika koordinatriktningar). 
• Rotationer kring origo respektive linje genom origo i 2 resp 3 dimensioner.
• Speglingar kring linjer/plan genom origo.
• Projektioner på linjer/plan genom origo.
• Skjuvningar (fast just dem pratar vi nog inte så mycket om).

Dessutom (viktigt!) gäller att sammansättningar av linjära avbildningar är linjära!
Ovanstående punkter är alltså bara exempel, inte en fullständig klassifikation.

Bassatsen säger att avbildningar från $\mathbf{R}^n$ till $\mathbf{R}^m$ (se kap 4!) representeras av $m\times n$-matriser, dvs matriser med $m$ rader och $n$ kolumner. Varje matris svarar mot en avbildning, och varje avbildning svarar mot en matris. Men sök inte på internet efter "bassatsen" eller "basis theorem", för då hittar ni bara Hilberts basis theorem om Noetherska ringar och Bengt Ove Turessons föreläsningsanteckningar i Fourieranalys. Så vad heter satsen på riktigt? Jag vet inte, säg till om ni vet. No offense, men en del saker som är viktiga satser i grundkurser blir sedan så naturliga och triviala att de inte betraktas som satser överhuvudtaget.

Sammansättning av linjära avbildningar svarar mot multiplikation av matriser. Kom ihåg att den operation som görs först svarar mot den matris som står längst till höger! Säg till exempel att matrisen $R$ beskriver en viss rotation, och matrisen $S$ beskriver en viss spegling. Att först rotera och sedan spegla svarar då mot matrisprodukten $S\cdot R$. Det här ser man bäst om man tänker på vad som händer med en godtycklig punkt $\pmatrix{x\\y\\z}$. Först ska den roteras, då får vi vektorn $R\cdot \pmatrix{x\\y\\z}$. Sedna ska den vektorn speglas, och då får vi $$S\cdot\left(R\cdot \pmatrix{x\\y\\z}\right).$$
Men matrismultiplikation är ju associativ, så vi kan ta bort parenteserna:
$$S\cdot R\cdot \pmatrix{x\\y\\z}.$$
Eller sätta dem runt $S\cdot R$ och tänka att det är den matrisen som multipliceras med $\pmatrix{x\\y\\z}$:
$$\left(S\cdot R\right)\cdot \pmatrix{x\\y\\z}.$$

Det här med determinanter och hur de svarar mot area och volym har jag inte pratat så mycket om, men det är inte enbart slarv och lathet. I kapitel 6 kommer vi att gå igenom determinanter ordentligt, så det gör inte så mycket om vi missar några saker på det just nu.

Vi pratade om affina avbildningar, dvs avbildningar på formen $Ax+b$, där $A$ är en matris och $b$ är en vektor. De affina avbildningarna inkluderar de linjära, och även klassen av affina avbildningar är sluten under sammansättning. För att hitta matrisen $A$ och vektorn $b$ utifrån en geometrisk beskrivning (t ex spegling/rotation/projektion i/runt/på linje/plan som inte går genom origo) kan man börja med att undersöka vart origo avbildas. Bilden av origo är nämligen vektorn $b$. Har man hittat vektorn $b$ kan man sedan få fram matrisen $A$ genom att undersöka vart standardbasvektorerna avbildas.
Vi gick igenom ett par exempel på detta, se även Exempel 3.38 i boken.