Om hemdugga 1

Det var lite småfel här och där och några har fått rest, men alla som lämnade in hade rätt på det mesta, och jag räknar med att alla till slut blir godkända. Bra att ni pratar med varandra och samarbetar!

Uppgift 1 (a) visade sig bli en slamkrypare. Tydligen är boken och Wikipedia inte överens, och kanske finns en subtil skillnad mellan att vara definierad och att kunna definieras. Nog tjafsat om sjudimensionella produkter!
(b), (c) och (d) är alla falska!

Uppgift 2 handlade om att projicera punkten $(1,3,4)$ först på planet $x-2y+z = 0$ och sedan på linjen $(1, 2t, 3t)$. Projektionen på planet är $(1+1/6, 3-1/3, 4+1/6)$, och projektionen på linjen är $(19/14, 38/14, 57/14)$.

Den här uppgiften har att göra med minsta kvadrat-metoden för att anpassa en rät linje till tre punkter $(1,1), (2,3)$ och $(3,4)$. Jag pratade om det på föreläsningen, men jag ska inte beskriva det i detalj här. Minsta kvadratmetoden kommer tillbaka i ett senare kapitel.

Uppgift 3 handlade om en boll som studsar mot ett plan. Den var lite snällt gjord för att kunna lösas på ett par olika sätt. Bollen träffar planet efter 2 sekunder, eftersom punkten $(2,0,0)$ ligger i det givna planet. En riktningsvektor för bollens rörelse före studsen är $(1,0,0)$, och planets normal är bara att läsa av från ekvationen: $(4,2,1)$. Vinkeln mellan $(1,0,0)$ och $(4,2,1)$, kalla den $\alpha$, ges av
$$\cos \alpha = \frac{(4,2,1) \cdot (1,0,0)}{\left\|(4,2,1)\right\| \left\|(1,0,0)\right\|} = \frac4{\sqrt{21}}.$$
För att få bollens position efter 4 sekunder kan man beräkna speglingen i planet av den punkt där bollen hade befunnit sig om den inte hade studsat, alltså $(4,0,0)$. För att finna speglingen räcker det att beräkna projektionen, och sedan utnyttja att projektionen är medelvärdet av punkten och dess spegling. Projektionen av punkten $(4,0,0)$ på planet $4x+2y+z=8$ är $(52/21, -16/21, -8/21)$, och speglingen, dvs den sökta punkten, är $(20/21, -32/21, -16/21)$.

Ganska många hade fått svaret $(-22/21, -32/21, -16/21)$, vilket är riktningsvektorn från punkten $(2,0,0)$ till den sökta punkten. Själva räkningarna är rätt, men tänk igenom vad det är ni har räknat ut!


Uppgift 4 handlade om bindningsvinkeln i metan, som visar sig vara $\arccos(-1/3)$. I barycentriska koordinater sitter kolatomen i punkten $(1/4, 1/4, 1/4, 1/4)$. Riktningsvektorer därifrån till två av väteatomerna blir $(1,0,0,0) - (1/4, 1/4, 1/4, 1/4) = (3/4, -1/4, -1/4, -1/4)$ och $(0,1,0,0) - (1/4, 1/4, 174, 1/4) = (-1/4, 3/4, -1/4. -1/4)$. Det gäller alltså att räkna ut vinkeln mellan dessa, som är
$$\arccos\left(\frac{\pmatrix{3/4\\-1/4\\-1/4\\-1/4}\cdot \pmatrix{-1/4\\3/4\\-1/4\\-1/4}}{\left\|\pmatrix{3/4\\-1/4\\-1/4\\-1/4}\right\| \cdot \left\|\pmatrix{-1/4\\3/4\\-1/4\\-1/4}\right\|} \right) = \arccos\left(\frac{-1/4}{3/4}\right) = \arccos\left(-\frac13\right).$$