Sammanfattande kommentarer, kapitel 1

Några av de begrepp man ska känna till från kapitel 1 är: Vektor, linjärkombination, enhetsvektor, skalärprodukt, ortogonalitet, projektion, spegling, vektorprodukt, koordinatsystem, bas, ON-bas, avstånd.

Förkunskaper man bör ha (repetera?) är definitioner av sinus, cosinus och tangens, cosinussatsen, värden på sinus och cosinus för multipler av $30^\circ$ och $45^\circ$, Pythagoras sats.

Bland det man förväntas kunna från kapitel 1 är hur plan och linjer kan beskrivas i ekvations- och parameterform, och hur man går fram och tillbaka mellan dessa.

Exempelvis kan ett plan i tre dimensioner ges av en ekvation som $$x+2y-4z = 5.$$
För att skriva detta plan på parameterform behöver man två "frihetsgrader", variabler som kan varieras hur som helst. Här ser man (till exempel) att $y$ och $z$ kan få vilka värden som helst, och dessa bestämmer värdet på $x$ genom $$x = -2y+4z+5.$$
Om parametrarna kallas $s$ och $t$, kan vi skriva planet som
$$\begin{cases} x = -2s+4t+5\\ y = s\\ z = t \end{cases}$$
Alternativt ges planet av tre punkter. Låt oss säga att vi bara vet att punkterna $(3,1,0)$, $(9,0,1)$ och $(5,0,0)$ ligger i planet. På parameterform kan vi då skriva planet som
$$s \cdot \pmatrix{3\\1\\0} + t\cdot \pmatrix{9\\0\\1} + (1-s-t)\cdot \pmatrix{5\\0\\0}.$$
Lägg märke till det smarta tricket med koefficienterna. När $s=1$ och $t=0$ får man punkten $\pmatrix{3\\1\\0}$. När tvärtom $s=0$ och $t=1$ får man punkten $\pmatrix{9\\0\\1}$. Och slutligen om $s=t=0$ får vi den tredje punkten $\pmatrix{5\\0\\0}$. Om vi skriver ut vad $x$, $y$ och $z$ blir, får vi
$$\begin{cases} x = 3s + 9t + 5(1-s-t) = -2s+4t+5\\ y = s\\ z = t \end{cases}$$

För att gå åt andra hållet och komma från parameter till ekvationsform, gäller det först att hitta normalriktningen till planet. Genom att sätta in olika parametervärden, till exempel $(s.t) = (1,0), (0,1)$ och $(0,0)$, får vi tre punkter i planet. Med "huvud minus svans" kan vi då hitta två vektorer som är parallella med planet. I det här fallet får vi till exempel vektorerna $\pmatrix{3\\1\\0} - \pmatrix{9\\0\\1} = \pmatrix{-6\\1\\-1}$ och $\pmatrix{3\\1\\0} - \pmatrix{5\\0\\0} = \pmatrix{-2\\1\\0}$.

För att hitta en vektor som är normal till (alltså ortogonal mot) planet, tar vi vektorprodukten av dessa två:
$$\pmatrix{-6\\1\\-1} \times \pmatrix{-2\\1\\0} = \pmatrix{1\\2\\-4}.$$
Det här är ett ad hoc-trick, som bara fungerar i tre dimensioner. Det mer systematiska sättet kommer vi till i avsnittet om Gausselimination.

Det är lätt att göra teckenfel på kryssprodukten, så kom ihåg att kontrollera att resultatet är ortogonalt mot båda faktorerna. dvs att
$$\pmatrix{-6\\1\\-1} \cdot \pmatrix{1\\2\\-4} = 0$$ och
$$\pmatrix{-2\\1\\0} \cdot \pmatrix{1\\2\\-4} = 0.$$
Nu har vi en normalvektor, och den ger koefficienterna $(1,2,-4)$ i ekvationen, som alltså har formen
$$x +2y -4z = konstant.$$
Genom att sätta in en av punkterna, till exempel $(3,1,0)$, får vi att konstanten är 5. Sätt in de andra två punkterna också, för att kontrollera att det blir samma värde på konstanten! Blir det inte det har vi räknat fel.

I planet har vi ingen vektorprodukt, utan där är ad hoc-tricket att "byta plats och byta tecken". Om vi till exempel ska hitta normalriktningen till en linje genom punkterna $(1,2)$ och $(-1,5)$ tar vi riktningsvektorn $\pmatrix{1\\2} - \pmatrix{-1\\5} = \pmatrix{2\\-3}$, och byter plats på 2:an och 3:an och byter tecken på den ena (till exempel från $-3$ till $3$), dvs vi får $\pmatrix{3\\2}$. Linjens ekvation är alltså $3x+2y = konstant$, och konstanten får vi genom att sätta in punkten $(1,2)$, dvs $x=1$ och $y=2$. Konstanten är alltså $3\cdot 1 + 2\cdot 2 = 7$.

Kom ihåg att göra kontroller när det går! Vi kan lika gärna sätta in den andra punkten, $(-1,5)$. Då ska det stämma att $3\cdot (-1) + 2\cdot 5$ också är lika med 7. Det gör det. Annars hade vi fått räkna om! 

Lite blandade kommentarer:

Varje parameter ger en dimension, varje ekvation tar bort en dimension (annars är de onödiga!).

Kom ihåg att linjer/plan kan vara lika även om de inte ser lika ut! 

För att jämföra linjer/plan på parameterform, se till att ha olika parametrar!

Mittpunkt ges av medelvärde koordinatvis (gäller alla symmetriska geometriska figurer).

Kom ihåg Pythagoras sats, och hur den generaliseras till högre dimensioner, även känt som avståndsformeln.

"Huvud minus svans". En vektorpil från punkten $P$ (svansen) till punkten $Q$ (huvudet) svarar i koordinater mot punkten $Q$ minus punkten $P$.

Räkneregler för vektorer, skalärprodukt och vektorprodukt. Hur skalärprodukt kan användas för att räkna ut vinklar, och hur vektorprodukt kan användas för att hitta vektorer ortogonala mot givet plan eller vektorer.

Man ska kunna beräkna (kortaste) avståndet mellan punkter, linjer, plan. Knepet är att minimalt avstånd svarar mot rät vinkel. Till exempel fås kortaste avståndet mellan två räta linjer genom att man hittar punkter $P$ och $Q$ på respektive linje så att linjen genom $P$ och $Q$ skär båda de givna linjerna i rät vinkel.

Kom ihåg vad som menas med projektion! Projektionen av en punkt $P$ på ett plan är en punkt i planet, inte riktningsvektorn från $P$ till denna punkt! Med "projektionen" menas så att säga  resultatet av att projicera, inte hur punkten flyttas när den projiceras. Motsvarande gäller för begreppet spegling.

Kom ihåg att resultatet av vektorprodukt kan kontrolleras med skalärprodukt! Vektorprodukten ska vara ortogonal mot båda faktorerna, dvs ha skalärprodukt noll.

Kom ihåg att vektorer räknas som lika om de har samma längd och samma riktning! Kom ihåg att vektorer räknas som parallella även om de har motsatt riktning!

Gå igenom listan av tryckfel, och rätta i era böcker!