Lite hintar för hemdugga 1

Uppgift 1 
Det här med att multiplicera vektorer i 7 dimensioner var inte tänkt att bli någon slamkrypare. Den ena sortens multiplikation finns i alla dimensioner, och den andra sorten kan bara definieras i vissa speciella dimensioner. Det är alltså tänkt att ett av de två första påståendena är sant och det andra är falskt.

Uppgift 3
Observera att den punkt där bollen befinner sig efter 4 sekunder är speglingen i det givna planet av var den hade befunnit sig om den hade gått rakt genom planet utan att studsa. Detta är ett annat sätt att formulera fysiklagen om att bollen studsar ut i samma vinkel som den studsar in. Kanske var det lite opedagogiskt att först fråga i (a) efter vinkeln, och därefter om var bollen befinner sig efter en viss tid. Det ger intrycket att man ska använda vinkeln i beräkningen i (b), vilket inte är nödvändigt.

Uppgift 4 
Här är det bra att känna till att medelpunkten i en polygon eller polyeder (om den är så pass symmetrisk att den har en tydlig medelpunkt) fås som medelvärdet (koordinatvis) av hörnen. Ett specialfall av detta är att mittpunkten på en sträcka $PQ$ är $(P+Q)/2$, om man tänker sig punkterna $P$ och $Q$ som vektorer, alltså givna av koordinater (detta är relevant även i uppgift 3!). I en liksidig triangel med hörn $P$, $Q$ och $R$ är mittpunkten $$\frac{P+Q+R}3.$$
En liksidig triangel kan läggas i ett tredimensionellt koordinatsystem så att hörnen hamnar i standardbasvektorerna $(1,0,0)$, $(0,1,0)$ och $(0,0,1)$ som i följande figur. Det här kallas barycentriska koordinater.

Barycentriska koordinater kan man använda även för en tetraeder, som i uppgift 4. Här är en bild på en tetraeder gjord av M-tic. Om man tittar ordentligt ser man att den har 35 kulor, varav 34 sitter "på ytan", och en kan skymtas i det inre.

Man kan se det som att konstruktionen har fyra våningar, där kulan i mitten sitter en våning upp. Och ställer man tetraedern på någon annan sida sitter kulan i mitten fortfarande en våning upp!