Några kommentarer efter andra tillfället

Vi bestämde att själva föreläsandet fortsättningsvis ska börja klockan 8.15, eftersom några ska hinna med tåg utifrån. Jag kommer ändå att vara på plats runt 8.00.

Det visade sig vara problem med att registrera sig på Hållbar Utveckling, vi hoppas det funkar den här veckan.

Daniel och Pontus valdes till studentrepresentanter.

Vi pratade lite om hemdugga 1, som ska in tisdagen 16 september, början av föreläsningen.

Nu var det dags att plocka fram fingrarna och räkna ut kryssprodukter. Kryssprodukten är bara definierad i tre dimensioner (och sju säger en del, men det bryr vi oss inte om här). Kryssprodukten av två vektorer $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ med vinkel $\alpha$ definieras genom egenskaperna att

1. $\left\|\mathbf{u}\times\mathbf{v}\right\| = \left\|\mathbf{u}\right\| \cdot \left\|\mathbf{v}\right\| \cdot \sin \alpha$.
2. Vektorn $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ är ortogonal mot både $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$.
3. Trippeln $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, $\mathbf{u}\times\mathbf{v}$ är högerorienterad.

Villkoren 1 och 2 bestämmer nästan, men inte riktigt, vad kryssprodukten måste vara. Om $\mathbf{u}$ och $\mathbf{v}$ inte spänner upp ett plan är vinkeln noll, och då är kryssprodukten nollvektorn. Spänner de upp ett plan, finns det bara en linje som är ortogonal mot båda, och eftersom längden är bestämd, finns det bara två möjligheter kvar. Vilken av dem det är bestäms av det tredje villkoret.

Det här med vad som är höger- och vänsterorienterat kan verka krångligt (särskilt eftersom vi inte har kommit till avsnittet om determinanter än!). Även om man förstår intuitivt vad det innebär, hur räknar man med det?

Och varför kallas den här orienteringen höger förresten? Det ligger något naturligt i att enhetsvektorn i $x$-led gånger enhetsvektorn i $y$-led blir enhetsvektorn i $z$-led. Men att det naturliga kallas höger och det bakvända kallas vänster är nog ett utslag av samhällets högernormativitet.

Vi skulle kunna börja med villkoren 1 och 2 samt kravet att vektorprodukten ska vara linjär i båda argumenten, vilket bland annat innebär att den ska uppfylla den den distributiva lagen. En produkt av två summor kan alltså utvecklas, till exempel $$(\mathbf{a}+\mathbf{b}+\mathbf{c}) \times (\mathbf{d}+\mathbf{e}) = \mathbf{a}\times \mathbf{d} + \mathbf{a}\times \mathbf{e} + \mathbf{b}\times \mathbf{d} + \mathbf{b}\times \mathbf{e} + \mathbf{c}\times \mathbf{d} + \mathbf{c}\times \mathbf{e}.$$
Lägg dock märke till att ordningen på faktorerna spelar roll, och inte får ändras på. Det är till exempel INTE (alltid) sant att
$$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times(\mathbf{a}+\mathbf{b}) = \mathbf{a}\times\mathbf{a} + 2\cdot (\mathbf{a}\times\mathbf{b}) + \mathbf{b}\times\mathbf{b}.$$
Utvecklar man vänsterledet korrekt, får man i stället $$(\mathbf{a}+\mathbf{b})\times(\mathbf{a}+\mathbf{b}) = \mathbf{a}\times\mathbf{a} + \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{b}\times\mathbf{a} + \mathbf{b}\times\mathbf{b}.$$
Eftersom kryssprodukten av en vektor med sig själv är noll, visar det här i själva verket att
$$0 = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{b}\times\mathbf{a}.$$
Med andra ord $\mathbf{a}\times\mathbf{b}= - \mathbf{b}\times\mathbf{a}$, byter man ordning på faktorerna, så byter produkten tecken.

Tillbaka till det här med lineariteten och de distributiva lagarna. Eftersom vi håller till i det tredimensionella rummet, kan varje vektor skrivas som en linjärkombination av standardbasvektorerna $\mathbf{e}_1 = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$,  $\mathbf{e}_2= \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$, och $\mathbf{e}_3= \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$. Kryssprodukten av två vektorer vilka som helst kan alltså i princip alltid skrivas som
$$\left(a\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+b\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+c\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right) \times \left(d\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}+e\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}+f\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\right).$$
När vi utvecklar den här produkten, kan vi slänga bort termer som $ad\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$, eftersom kryssprodukten av en vektor med sig själv är noll. Vi kan också samla ihop termer som svarar mot samma faktorer men i olika ordning, fast då måste vi komma ihåg att tecknet ändras när man ändrar ordningen. Till exempel är
$$bd \cdot\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix} = -bd\cdot\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}.$$
Hela produkten blir då
$$(ae-bd)\cdot \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} + (bf-ce)\cdot \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} + (cd-af)\cdot \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$$
Villkoren 1+2+linearitet innebär alltså att allt bestäms av de tre produkterna
$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix},$$ $$\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},$$ och $$\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}.$$
Vi har bara två alternativ för var och en av dem, men i själva verket har vi ännu mindre valfrihet än så. Produkten $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$ måste vara antingen $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ eller $\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}$. Säg att vi bestämmer oss för det förstnämnda alternativet. Då skulle det inte funka att $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$. För la vi ihop dem skulle vi få att
$$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix},$$
och då skulle produkten inte vara ortogonal mot andra faktorn. Alltså måste $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}$, och på samma sätt måste vi ha $\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$.

Om vi bestämmer oss för att $$\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix},$$ måste alltså allt annat "följa färg", och vi får en "högerorienterad" vektorprodukt. Det enda alternativet vore en helt igenom vänsterorienterad vektorprodukt.

Vi pratade lite om hur man kan använda vektorprodukt för att hitta normalriktningen till ett plan om man vet tre punkter i planet (till exempel origo och två andra punkter).

Det dök upp en del frågor kring att det bara finns två enhetsvektorer som är parallella med en given vektor, till exempel $\begin{pmatrix}5\\-7\end{pmatrix}$ (övning 1.10). Kan man inte köra runt med en pil i hela planet och få oändligt många parallella vektorer av längd 1? Nej, och det har att göra med när två vektorer är lika. Vektorbegreppet definieras (informellt) som något som har riktning och längd. I detta ligger att om två vektorer (pilar) har samma riktning och samma längd, så betraktas de som lika. Och då finns det bara två enhetsvektorer som är parallella med en given vektor. Lägg alltså märke till att två vektorer är parallella även när de pekar i motsatt riktning.

En sak som kan vara bra att ha i arsenalen av utantillkunskaper (till exempel när man löser problem som har att göra med spegling) är att den punkt, kalla den $M$, som ligger mitt emellan två punkter $P$ och $Q$ kan ses som medelvärdet av $P$ och $Q$. Koordinatvis, eller om vi tänker oss $P$, $Q$ och $M$ som vektorer (med pilstart i origo), gäller
$$M = \frac{P+Q}2.$$