Gamla tentor

Här ligger tentan från förra året. Och här en från året innan.

Tentan från 2013:
1(a) $$u \cdot v = ad+be+cf = \left\|u\right\| \cdot \left\|v\right\| \cdot \cos\alpha$$ där $\alpha$ är vinkeln mellan $u$ och $v$.

(b) $\left\|u\right\| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
(c) $$u\times v = \pmatrix{bf-ce\\cd-af\\ae-bd}.$$

2. Minsta avståndet fås för t=1, och är $\sqrt{2}$.

3. Determinanten är $4a-2b$. Invers saknas då detta är noll, dvs då $2a=b$.

4. $$AB=\pmatrix{10 & 5\\ 16 & 8}.$$
      $$BA = \pmatrix{8 & 20 \\ 4 & 10}.$$
  $$Ab = \pmatrix{6 \\10}.$$
$$b^tA = \pmatrix{5 & 13}.$$
$A + b$ finns ej,
$$A + B = \pmatrix{5 & 5 \\ 4 & 5}.$$
$\det(A) = -2$, $\det(B) = 0$.
$$A^{-1} = \pmatrix{-2 & 3/2 \\ 1 & -1/2}.$$  
$B^{-1}$ finns ej.
$$B^tB = \pmatrix{20 & 10 \\ 10 & 5}.$$
$(B^tB)^{-1}$ existerar ej.

5. (a) Oändligt antal lösningar om alla tre linjerna sammanfaller, 1 lösning om linjerna skär varandra i en punkt men inte alla sammanfaller, 0 lösningar om linjerna inte skär i en punkt.
Går direkt till (c): Ekvationssystemet kan skrivas
$$\pmatrix{1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 2 & -1} \cdot \pmatrix{x_1 \\ x_2} = \pmatrix{3\\ 2 \\ 2}.$$
Minsta-kvadratlösning fås genom att vi löser
$$\pmatrix{1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1} \cdot \pmatrix{1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 2 & -1} \cdot \pmatrix{x_1 \\ x_2} = \pmatrix{1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1} \cdot \pmatrix{3\\ 2 \\ 2},$$ dvs
$$\pmatrix{6 & -1\\ -1 & 6} \cdot \pmatrix{x_1 \\ x_2} = \pmatrix{9 \\ 2}.$$
Lösningen blir $x_1 = 8/5$ och $x_2 = 3/5$.
(b) För att visa att systemet saknar lösning räcker det att sätta in minsta-kvadratlösningen och kolla att den inte löser systemet. Hade det funnits en lösning, hade ju den varit minsta-kvadratlösning!

6. Antar att systemet i fråga är $Ax = b$. Går direkt på (b). Inversen till $A$ är
$$\frac1{11}\pmatrix{2 & 1 & -7 \\ -3 & 4 & 5\\ 5 & -3 & -1}.$$ Eftersom inversen existerar finns exakt en lösning till $Ax = b$, och den ges av $$x = A^{-1} b = \pmatrix{-2 \\ 2 \\ 1}.$$

7. Typo, det ska vara $v_2 = \pmatrix{1\\ -1}$. Vi söker $A$ som uppfyller
$$A\cdot \pmatrix{1\\ 1} = \pmatrix{5 \\ 5}$$ och
$$A\cdot \pmatrix{1\\ -1} = \pmatrix{7 \\ -7}.$$
Ansätter vi $$A = \pmatrix{a & b \\ c & d}$$ får vi ekvationssystemet
$$\begin{eqnarray} a + b =5\\ c+d = 5\\ a-b = 7\\ c-d = -7,\end{eqnarray}$$ och det visar sig att
$$A = \pmatrix{6 & -1 \\ -1 & 6}.$$