Gamla tentor

Här ligger tentan från förra året. Och här en från året innan.

Tentan från 2013:
1(a) \[ u \cdot v = ad+be+cf = \left\|u\right\| \cdot \left\|v\right\| \cdot \cos\alpha\] där $\alpha$ är vinkeln mellan $u$ och $v$.

(b) $\left\|u\right\| = \sqrt{a^2+b^2+c^2}$.
(c) \[u\times v = \pmatrix{bf-ce\\cd-af\\ae-bd}.\]

2. Minsta avståndet fås för t=1, och är $\sqrt{2}$.

3. Determinanten är $4a-2b$. Invers saknas då detta är noll, dvs då $2a=b$.

4. \[AB=\pmatrix{10 & 5\\ 16 & 8}.\]
      \[ BA = \pmatrix{8 & 20 \\ 4 & 10}.\]
  \[ Ab = \pmatrix{6 \\10}.\]
\[ b^tA = \pmatrix{5 & 13}.\]
$A + b$ finns ej,
\[ A + B = \pmatrix{5 & 5 \\ 4 & 5}.\]
$\det(A) = -2$, $\det(B) = 0$.
\[A^{-1} = \pmatrix{-2 & 3/2 \\ 1 & -1/2}.\] 
$B^{-1}$ finns ej.
\[ B^tB = \pmatrix{20 & 10 \\ 10 & 5}.\]
$(B^tB)^{-1}$ existerar ej.

5. (a) Oändligt antal lösningar om alla tre linjerna sammanfaller, 1 lösning om linjerna skär varandra i en punkt men inte alla sammanfaller, 0 lösningar om linjerna inte skär i en punkt.
Går direkt till (c): Ekvationssystemet kan skrivas
\[\pmatrix{1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 2 & -1} \cdot \pmatrix{x_1 \\ x_2} = \pmatrix{3\\ 2 \\ 2}.\]
Minsta-kvadratlösning fås genom att vi löser
\[\pmatrix{1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1} \cdot \pmatrix{1 & 2 \\ 1 & -1 \\ 2 & -1} \cdot \pmatrix{x_1 \\ x_2} = \pmatrix{1 & 1 & 2\\ 2 & -1 & -1} \cdot \pmatrix{3\\ 2 \\ 2},\] dvs
\[\pmatrix{6 & -1\\ -1 & 6} \cdot \pmatrix{x_1 \\ x_2} = \pmatrix{9 \\ 2}.\]
Lösningen blir $x_1 = 8/5$ och $x_2 = 3/5$.
(b) För att visa att systemet saknar lösning räcker det att sätta in minsta-kvadratlösningen och kolla att den inte löser systemet. Hade det funnits en lösning, hade ju den varit minsta-kvadratlösning!

6. Antar att systemet i fråga är $Ax = b$. Går direkt på (b). Inversen till $A$ är
\[\frac1{11}\pmatrix{2 & 1 & -7 \\ -3 & 4 & 5\\ 5 & -3 & -1}.\] Eftersom inversen existerar finns exakt en lösning till $Ax = b$, och den ges av \[x = A^{-1} b = \pmatrix{-2 \\ 2 \\ 1}.\]

7. Typo, det ska vara $v_2 = \pmatrix{1\\ -1}$. Vi söker $A$ som uppfyller
\[A\cdot \pmatrix{1\\ 1} = \pmatrix{5 \\ 5}\] och
\[A\cdot \pmatrix{1\\ -1} = \pmatrix{7 \\ -7}.\]
Ansätter vi \[ A = \pmatrix{a & b \\ c & d}\] får vi ekvationssystemet
\[\begin{eqnarray} a + b =5\\ c+d = 5\\ a-b = 7\\ c-d = -7,\end{eqnarray}\] och det visar sig att
\[ A = \pmatrix{6 & -1 \\ -1 & 6}.\]