Knutteori

Knutteori handlar om huruvida ett trassel av en eller flera slutna kurvor i rummet kan trasslas upp utan att kurvorna rör sig genom varandra.

En treklöverknut:

kan till exempel inte trasslas upp till en så kallad oknut (även känd som cirkel). En treklöver kan inte heller överföras till sin spegelbild, utan finns i två olika versioner, en “vänsterorienterad” och en “högerorienterad” (hm, vilken är vilken?).

Att bevisa att det inte går att överföra en kurva till en annan kan vara knepigt och problemet har lett till fantastisk matematik. År 1990 gick en av Fieldsmedaljerna till Vaughan Jones från Nya Zeeland för upptäckten av det som nu kallas Jonespolynomet.

För att representera knutar kan man använda så kallade knutdiagram, som är tvådimensionella bilder av kurvan. På de ställen där kurvan ser ut att skära sig själv, är det markerat vilken del som går över och vilken som går under. Treklövern kan representeras som:

 Trasslandet kan då reduceras till tre tillåtna operationer, de så kallade Reidemeister moves:

De tre typerna av drag kan utföras lokalt, dvs i figuren ovan antar man att resten av diagrammet är oförändrat.

För att visa att ett diagram inte kan överföras i ett annat, måste man hitta en invariant, det vill säga en egenskap hos diagrammet som är oförändrad under Reidemeisterdragen. Om en invariant är olika för två diagram, kan de inte överföras i varandra. Vi ska använda linjär algebra för att bevisa att två länkade cirklar inte kan tas isär.

Låt oss säga att en funktion från kurvorna i ett diagram till de reella talen är kvasikonstant (det ordet har jag själv hittat på) om

• den inte "byter" värde längs en kurva annat än när kurvan passerar under en annan kurvsnutt, och
• medelvärdet av de två värdena på under-kurvan är lika med värdet på över-kurvan i varje korsning.

De kvasikonstanta avbildningarna utgör då ett linjärt rum (!), och bland dem finns alltid de konstanta avbildningarna. Rummet kan beskrivas genom att vi inför en variabel för varje kurvsnutt i diagrammet (från en underkorsning till nästa). För varje korsning gäller sedan en ekvation av typen $$x = \frac{y+z}2,$$ där $x$ är variabeln för över-kurvan, och $y$ och $z$ är variablerna för under-kurvorna.

För Hopf-länken (de två länkade cirklarna) till exempel, får vi två variabler, $x$ och $y$, och ekvationerna
$$x = \frac{y+y}2$$ och $$y = \frac{x+x}2.$$
Med andra ord $x=y$, så de enda kvasikonstanta avbildningarna är de konstanta. Värdena på de två cirklarna är så att säga länkade till varandra.

Poängen med de kvasikonstanta avbildningarna är att: 

Dimensionen av rummet av kvasikonstanta avbildningar är en invariant.

För att kontrollera att det stämmer, räcker det att kontrollera de tre Reidemeisterdragen. En twist (se figuren med Reidemeisterdrag) involverar två kurvsnuttar, låt oss sätta $x$ på den som går över, och $y$ på den som går under. Korsningen ger ekvationen $x= (x+y)/2$ som kan förenklas till $x=y$. Därför kan vi ersätta $x$ och $y$ med en enda variabel, vilket är vad vi får om vi gör en untwist!

En unpoke involverar två kurvsnuttar som vi kan kalla $x$ och $y$ (de skulle kunna vara samma, och även om de inte är samma snutt, är det möjligt att andra ekvationer i diagrammet tvingar dem att ha samma värde, men låt oss ändå kalla dem $x$ och $y$). När vi för in $x$-snutten under $y$-snutten, bildas en ny kurvsnutt som vi kan kalla $z$. Båda nya korsningarna ger samma ekvation, $y=(x+z)/2$ eller ekvivalent $z = 2y - x$. Eftersom $z$ inte förekommer i någon annan ekvation och $z$ helt styrs av $x$ och $y$, förändras inte dimensionen av lösningsrummet.

En slide är lite mer komplicerad, men låt oss införa variabler $x_1,\dots, x_6$ för tåtarna som går ut ur vänstra diagrammet i III, med början "klockan ett". Då är för det första $x_2 = x_5$, eftersom de är samma kurvsnutt. För det andra är $x_1+x_4 = x_2+x_5$, på grund av korsningen mellan tåtarna med de variablerna. Slutligen har vi tåtarna $x_3$ och $x_6$, och den mellanliggande snutten som vi kan kalla $y$. Vi kan lösa ut $y$ som $y=2x_2-x_6$, och det visar sig att resterande ekvationer kan förenklas till
$$x_1+x_3+x_5 = x_2+x_4+x_6.$$  
I den högra delen av III kan vi numrera de utgående tåtarna på samma sätt med $x_1,\dots,x_6$. Vi har fortfarande $x_2=x_5$, och $x_1+x_4=x_2+x_5$ på grund av den korsning som bara involverar de tåtarna. Vi kan kalla den nya mellanliggande snutten för $z$, och det visar sig att övriga två ekvationern igen ger $x_1+x_3+x_5=x_2+x_4+x_6$. Enda skillnaden är att vi nu har ett extra $z = 2x_2-x_3$ i stället för $y=2x_2-x_6$, men detta påverkar inte dimensionen av lösningsrummet.

Inget av de tre Reidemeisterdragen kan alltså ändra dimensionen av rummet av kvasikonstanta avbildningar. Detta tal är således en invariant och är därför en egenskap hos knuten i sig, inte något som beror på den valda representationen som diagram.

Att dimensionen av de kvasikonstanta avbildningarna är invariant bevisar att det inte går att ta isär Hopf-länken med Reidemeisterdrag. För i ett diagram med två olänkade cirklar är dimensionen 2, vi kan ju välja värdena på de två cirklarna oberoende av varandra!

Jag lämnar åt läsaren att räkna ut dimensionen av kvasikonstanta funktioner från the Borromean rings:

Det finns 6 kurvsnuttar och 6 korsningar, så det blir 6 variabler och 6 ekvationer. Bara att Gausseliminera och få fram dimensionen av lösningsrummet! 

Om dimensionen blir något annat än 3, betyder det att ringarna inte går att ta isär. Notera att ringarna inte sitter ihop två och två. Skulle man få loss en av dem, skulle de övriga två också lossna från varandra!

De kvasikonstanta avbildningarna visar tyvärr inte att treklöverknuten inte kan lösas upp. Den har tre kurvsnuttar, och ekvationssystemet kokar ner till $$3x = 3y =3z.$$ Vilket betyder att de enda kvasikonstanta funktionerna är konstanta, som på en oknuten cirkel. Såvida man inte räknar modulo 3...