$\mathbb{R}^n$ och Cauchy-Schwarz

I går tisdag 30 september var det inlämning av dugga 2 och så blåste vi igenom kapitel 4. I detta kapitel definieras vektoroperationer, skalärprodukt, vinklar, avstånd, linjära avbildningar, matriser mm igen, fast den här gången utan den i bokens titel omtalade geometriska utgångspunkten.

En skillnad är att nu definieras skalärprodukt rent algebraiskt (som summan av produkterna av koordinaterna). Därefter definieras avstånd och vinklar i termer av skalärprodukten.

Avståndsformeln aka Pythagoras sats gäller alltså fortfarande, men nu är den egentligen ingen sats, utan en definition!

Motsvarande gäller för vinklar, som nu definieras genom $$\cos \alpha = \frac{u\cdot v}{\left\|u\right\|\cdot \left\|v\right\|},$$ för vinkeln $\alpha$ mellan vektorerna $u$ och $v$ (tänkta som pilar från origo).

För att denna definition ska vara ok måste högerledet ligga i intervallet $[-1,1]$, och det faktum att det gör det kallas Cauchy-Schwarz olikhet. Vi kan kvadrera och skriva den som
$$\cos^2\alpha = \frac{(u\cdot v)^2}{(u\cdot u)(v\cdot v)} \leq 1.$$
Cauchy [koʃi] var för övrigt fransman, född någon månad efter stormningen av bastiljen, och uttalet av hans namn är ganska olikt kautschuk.

I boken lämnas beviset av Cauchy-Schwarz som övning, med en ledtråd om att utnyttja att $$0 \leq \left\| u-\frac{(u\cdot v)}{\left\|v\right\|^2}\cdot v\right\|^2.$$
Mycket riktigt kokar det ner till Cauchy-Schwarz olikhet om man hela vägen utnyttjar att normen i kvadrat är lika med skalärprodukten av en vektor med sig själv, och multiplicerar ut och förenklar.
Men hur kommer man på att man ska titta på just det här uttrycket? Tja, man skulle kunna göra som först föreslås i boken och införa en parameter $t$ och börja med att $$0\leq \left\|u - tv\right\|^2.$$ En fördel är att här kan vi välja $t$ hur vi vill, och olikheten gäller alltid. Vad den säger är alltså att skalärprodukten av $u-tv$ med sig själv är icke-negativ, vilket är klart från den algebraiska definitionen, eftersom det blir en summa av kvadrater.

Om vi mutiplicerar ut denna skalärprodukt får vi
$$0\leq (u\cdot u) - 2t(u\cdot v) + t^2(v\cdot v).$$
Nu kan vi tänka på högerledet som ett andragradspolynom $f(t)$ i variabeln $t$. Vad innebär det för koefficienterna i detta polynom att det aldrig är negativt? Om vi skulle lösa ekvationen $f(t)=0$, dvs $$(v\cdot v)t^2 - 2(u\cdot v)t + (u\cdot u) = 0$$ med pq-formeln, skulle vi först skriva om den som $$t^2 - 2\frac{(u\cdot v)}{(v\cdot v)}\cdot t + \frac{(u\cdot u)}{(v \cdot v)} = 0,$$ och sedan få rötterna $$t = \frac{(u\cdot v)}{(v\cdot v)} \pm \sqrt{\frac{(u\cdot v)^2}{(v\cdot v)^2} - \frac{(u\cdot u)}{(v\cdot v)}}.$$
Att $f(t)\geq 0$ för alla $t$ innebär att rötterna antingen måste vara icke-reella, dvs uttrycket under kvadratrotstecknet negativt, eller sammanfalla, vilket de gör om uttrycket under rottecknet är noll. Skulle uttrycket under rottecknet vara positivt, skulle det finnas två olika reella rötter, och i så fall skulle ju $f(t)$ byta tecken och alltså vara negativt mellan rötterna!
Vi drar alltså slutsatsen att uttrycket under rottecknet är $\leq 0$, vilket betyder att $$\frac{(u\cdot v)^2}{(v\cdot v)^2} \leq \frac{(u\cdot u)}{(v\cdot v)},$$
eller om vi stuvar om: $$\frac{(u\cdot v)^2}{(u\cdot u)(v\cdot v)} \leq 1.$$
Hoppsan, där satt den! Vänsterledet här är ju det som skulle vara $\cos^2\alpha$, så vinkeldefinitionen är alltså okej!

I stället för pq-formeln kan man kolla var $f(t)$ antar sitt minimum. Att $f(t)\geq 0$ för alla $t$ är ju samma sak som att dess minimum är större än eller lika med 0.
Vi har $$f(t) = (v\cdot v)t^2 -2(u\cdot v)t + (u\cdot u),$$ och $$f'(t) = 2(v\cdot v) t - 2(u\cdot v).$$ Detta är noll när $$t=\frac{(u\cdot v)}{(v\cdot v)}.$$ Aha, där har vi det. Det var därför vi skulle ta just det värdet på $t$! Notera att $v\cdot v = \left\|v\right\|^2$, så det här är det värde på $t$ som föreslås i hinten i boken.

Sätter vi in, får vi
$$f\left(\frac{u\cdot v}{v\cdot v}\right) = \frac{(u\cdot v)^2}{v\cdot v} - 2\frac{(u\cdot v)^2}{v\cdot v} +u\cdot u = - \frac{(u\cdot v)^2}{v\cdot v} + u\cdot u.$$
Att detta är ickenegativt betyder att $$u\cdot u\geq \frac{(u\cdot v)^2}{v\cdot v},$$ och igen får vi att det som ska vara $\cos^2\alpha$ är högst $1$.