Snabbtest

Det här är tänkt att vara ett lite lättsammare sätt att få koll på kursen och eventuellt få bort några missförstånd. Inga tunga uträkningar som i hemuppgifterna, utan snabba frågor och snabba svar.

1. I tre dimensioner, skriv upp ekvationen för $xy$-planet!
2. Hur lång är vektorn $(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1)$ i $\mathbb{R}^{10}$?  
3. Flervalsfråga: Triangeln med hörn i punkterna $(0,1,3)$, $(-1,2,-1)$ och $(3,1,1)$ har area (a) $7\sqrt{6} + 6\sqrt{28} + \sqrt{42}$, (b) $84^{1/3}/2$ eller (c) $\sqrt{209}/2$?
4. Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt på en kryssprodukt av två vektorer?
5. Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt på en skalärprodukt av två vektorer?
6. Hur kan man kontrollera att man har räknat rätt när man har inverterat en matris?
7. Sant eller falskt: Man kan ta två A4-papper, göra ett hål med en nål mitt i det ena, och hänga det andra i hålet.
8. Sant eller falskt: Om vi hade fyra rumsdimensioner, skulle man kunna ta två A4-papper, göra ett hål med en nål mitt i det ena, och hänga det andra i hålet.
9. Flervalsfråga: Inversen till matrisen $$\pmatrix{3 & 1 & 3 \\ 1 & 3 & 0\\ 0 & 3 & 1}$$ är (a) $$\frac1{7}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8},$$ (b) $$\frac1{17}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8}$$ eller (c) $$\frac1{31}\pmatrix{3 & 8 & -9 \\ -1 & 3 & 3\\ 3 & -9 & 8}.$$
10. Sant eller falskt: ett ekvationssystem med fler variabler än ekvationer går alltid att lösa.
11. Om jag kastar en tärning 100 gånger och fyller i utfallen (siffrorna 1 till 6) i en $10\times 10$-matris, vad är då mest troligt, att den blir inverterbar eller att den inte blir det?
12. Låt avbildningen $h$ vara spegling i planet $2x-y+2z= 0$. Vilka är egenvärdena till $h$?
13. Sant eller falskt: En (reell) $5\times 5$-matris har alltid ett (reellt) egenvärde.
14. Sant eller falskt: En (reell) $6\times 6$-matris har alltid ett (reellt) egenvärde.
15. Skriv upp en $3\times 3$-matris med egenvärden 3, 5 och 7.
16. Sant eller falskt: Om ett tal (säg 17) är en rot till den karakteristiska kvationen, finns det alltid en (nollskild) egenvektor med egenvärde 17.
17. Sant eller falskt: Om ett tal (säg 17) är en dubbelrot till den karakteristiska ekvationen, så finns det alltid två oberoende egenvektorer med egenvärde 17.

Svar:

1. Ekvationen är $z=0$. Det här verkar en del ha missat på senaste duggan. $z$-axeln är där $z$ är vad det vill och de andra är noll. I $xy$-planet är $x$ och $y$ vad som helst och $z$ är noll!
2. Den har längd $\sqrt{10}$. 
3. Det enda som kan vara rätt är (c), $\sqrt{209}/2$. Flytta triangeln så att ett hörn hamnar i origo, till exempel subtrahera $(0,1,3)$ så att vi får $(0,0,0)$, $(-1,1,-4)$ och $(3,0,-2)$. Triangelns area är då halva längden av kryssprodukten $$\pmatrix{-1\\1\\-4} \times \pmatrix{3\\0\\-2}.$$ Utan att räkna kan vi se att längden av kryssprodukten är kvadratroten ur ett heltal, så varken (a) eller (b) kan vara rätt.
4. Kolla att svaret har skalärprodukt noll med var och en av faktorerna.
5. Räkna om!
6. Kolla att matrisen gånger inversen blir enhetsmatrisen.    
7. Öh, falskt!?
8. Sant. Typ. Två plan i $\mathbb{R}^4$ kan skära varandra i en punkt.
9. Bara (b) kan vara rätt. Vi kan se med Sarrus regel att determinanten är $9+9-1=17$. Inversen måste då ha element som är heltal dividerat med 17, så varken (a) eller (c) kan vara rätt.
10. Falskt. Systemet $x_1+x_2+x_3=0$ och $x_1+x_2+x_3=1$ till exempel går ju inte att lösa.
11. Den blir nästan säkert inverterbar. Det är bara om determinanten blir 0 som den inte går att invertera (men jag vet inte vad sannolikheten är, testa med Maple?).
12. 1 (dubbelrot), och $-1$. Det spelar ingen roll vad planet är, en spegling fixerar ett plan (dvs det får egenvärde 1) och vektorerna som är ortogonala mot planet får egenvärde $-1$.
13. Sant. Det karakteristiska polynomet har ledande koefficient (dvs term av högst grad) $-\lambda^5$. Eftersom 5 är udda går det mot $+\infty$ när $\lambda\to-\infty$, och mot $-\infty$ när $\lambda\to+\infty$. Någonstans måste det bli noll på vägen.
14. Falskt. Förra argumentet funkar inte eftersom 6 är jämnt, och här är ett motexempel: $$\pmatrix{0 & -1 & 0 & 0 & 0 & 0\\1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & -1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & -1\\0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0}.$$ Det karakteristiska polynomet blir $(\lambda^2+1)^3$, vilket inte har några reella nollställen. Den här avbildningen kan ses som att man roterar $90^\circ$ i $x_1x_2$-planet, och samtidigt i $x_3x_4$-planet och $x_5x_6$-planet.
15. Enklaste lösningen är $$\pmatrix{3 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 7}.$$
16. Sant. Subtraherar man 17 från diagonalen och Gaussar, blir det (minst) en nollrad och en fri kolumn. Så då finns det en nollskild lösning till ekvationen som säger att $x$ är en egenvektor med egenvärde 17.
17. Falskt. Det här var Pontus fråga som vi inte hann med svaret på. Motexempel: $$\pmatrix{17 & 1\\ 0 & 17}.$$