En trivialitet

Ibland hoppar vi över de enklaste sakerna, trivialiteterna. Kanske för att de inte exemplifierar metoder på ett allmängiltigt sätt, eller för att de inte gör sig bra som tentauppgifter. Ibland är vi rädda att det ska förvirra om vi ordar för mycket om att saker går att se på olika sätt.

Men det här med att se saker på olika sätt, specifikt att kunna uppfatta saker som geometri i mångdimensionella rum, är på en abstrakt nivå ett av målen med kursen.

Vi har gått igenom minsta kvadrat-anpassning för att hitta “bästa” lösningen till olösliga ekvationssystem. Att på detta sätt anpassa en linjär funktion till brusiga mätdata kan betraktas som att projicera en punkt i ett mångdimensionellt rum ortogonalt på ett delrum. I statistikdelen av kursen handlar en hel del om väntevärde, även känt som medelvärde för ändliga utfallsrum. Här kommer trivialiteten: väntevärde och medelvärde är minstakvadratlösningar, och kan därmed också betraktas som projiceringar!

Låt mig förvirra förklara. Anta att vi har talen $a$, $b$, $c$, och $d$ som mätdata, resultat, eller statistik av något slag. Men vi vill presentera ett tal som vårt resultat. Det tal vi presenterar, låt oss kalla det $x$, ska helst ha egenskapen att $x=a$, $x=b$, $x=c$ och $x=d$, samtidigt, vilket förstås inte går såvida inte $a$, $b$, $c$ och $d$ råkar vara lika. På matrisform kan vi skriva det
$$\pmatrix{1\\1\\1\\1} \cdot \pmatrix{x} = \pmatrix{a\\b\\c\\d}.$$

Nu vill vi anpassa $x$ så att felet minimeras i minsta kvadrat-mening, dvs vi väljer $x$ så att $(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2+(x-d)^2$ blir så litet som möjligt. Enligt teorin i kapitel 5 multiplicerar vi med transponatet till koefficientmatrisen till vänster:
$$\pmatrix{1 & 1 & 1 & 1} \cdot \pmatrix{1\\1\\1\\1} \cdot \pmatrix{x} = \pmatrix{1 & 1 & 1 & 1} \cdot \pmatrix{a\\b\\c\\d},$$ och löser det ekvationssystemet i stället. System och system förresten, här blir det ju bara en ekvation om man multiplicerar ut:
$$4x = a+b+c+d.$$
Så $$x=\frac{a+b+c+d}4,$$ dvs $x$ är medelvärdet av $a$, $b$, $c$ och $d$. 
Att det är medelvärdet man ska ta om man vill minimera summan av kvadraterna på felen kan man för övrigt se även med den gamla hederliga analysmetoden att kolla var derivatan av det man vill minimera är noll: $(x-a)^2+(x-b)^2+(x-c)^2+(x-d)^2$ har derivatan
$$2(x-a)+2(x-b)+2(x-c)+2(x-d),$$ som är noll när $4x = a+b+c+d$.

Så på vilket sätt är det här en projektion? Jo vi projicerar punkten $\pmatrix{a\\b\\c\\d}$ i $\mathbb{R}^4$ ortogonalt på delrummet (dvs linjen!) av alla $\pmatrix{x_1\\x_2\\x_3\\x_4}$ som uppfyller $x_1=x_2=x_3=x_4$.

Så nästa gång du räknar ut medelvärdet av fyra tal, tänk på att du håller på med geometri i fyra dimensioner!